bzoj4144 [AMPPZ2014]Petrol
题意：
给一个n个点m条边的带权无向图，其中k个点是加油站，每个加油站可以加满油，但不能超过车的油量上限。有q个询问，每次给出x,y,b，保证x,y都是加油站，问一辆油量上限为b的车从x出发能否到达y？
$n,m,s,q\leq 2\times 10^5.$
题解：
只有加油站是有用的点，问题可以转化为求一个加油站的排列，使得相邻两个加油站距离最大值小于等于油量上限。一个简单粗暴的想法是求出加油站两两最短路，然后直接上MST，离线处理询问。
其实上述的暴力做法是有很多冗余的（有很多边用不到）。考虑更优的建边方式。可以发现一个加油站每次往离他最近的加油站走最优（显然，不然为什么求的是MST）。我们将所有加油站扔进dijkstra里跑多源最短路，求出距离每个点最近的加油站，记为nearest[]。对于原图上一条边$u\sim v$，假如nearest[u]=nearest[v]，那么这条边没有用；否则，建一条$nearest[u]\sim nearest[v]$的边，边权为dis(u,nearest[u])+dis(v,nearest[v])+dis(u,v)。相当于添加了一条nearest[u]到nearest[v]的路径（经过u-v这条边）。那么将所有原图的边遍历完之后，也恰好加入了所有可能在MST上的加油站之间的边。
那么再对这个新图跑MST，离线处理询问即可。复杂度$\mathcal{O}(n\log n+\alpha(m+q))$。
code:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++) 3 #define ll long long 4 #define inf 1000000001 5 #define y1 y1___ 6 #define pli pair<ll,int> 7 #define fi first 8 #define se second 9 using namespace std; 10 char gc(){ 11 static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf; 12 return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 13 } 14 #define gc getchar 15 ll read(){ 16 char ch=gc();ll x=0;int op=1; 17 for (;!isdigit(ch);ch=gc()) if (ch=='-') op=-1; 18 for (;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0'; 19 return x*op; 20 } 21 #define N 200005 22 int n,k,m,x,cnt,head[N],nrst[N],fa[N];ll dis[N];bool vis[N]; 23 struct edge{int to,nxt,w;}e[N<<1]; 24 struct ask{int x,y,w,id;}q[N]; 25 struct node{ 26 int x,y;ll w;node(){} 27 node(int x_,int y_,ll w_){x=x_,y=y_,w=w_;} 28 }a[N]; 29 bool cmp_q(ask x,ask y){return x.w<y.w;} 30 bool cmp_a(node x,node y){return x.w<y.w;} 31 priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli> > q_; 32 void adde(int x,int y,int z){ 33 e[++cnt].to=y;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt; 34 e[cnt].w=z; 35 } 36 void dij(){ 37 while (!q_.empty()){ 38 int u=q_.top().se;q_.pop(); 39 if (vis[u]) continue;vis[u]=1; 40 for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){ 41 int v=e[i].to; 42 if (dis[v]>dis[u]+e[i].w) 43 dis[v]=dis[u]+e[i].w,q_.push(pli(dis[v],v)),nrst[v]=nrst[u]; 44 } 45 } 46 } 47 void build(){ 48 cnt=0; 49 rep (u,1,n) for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){ 50 int v=e[i].to; 51 if (nrst[u]!=nrst[v]&&nrst[u]<nrst[v]) a[++cnt]=node(nrst[u],nrst[v],dis[u]+dis[v]+e[i].w); 52 } 53 } 54 int getfa(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);} 55 int main(){ 56 n=read(),k=read(),m=read(); 57 memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 58 rep (i,1,k){int x=read();dis[x]=0,q_.push(pli(0,x)),nrst[x]=x;}//nrst[x]：nearest(x)，距离x最近的加油站 59 rep (i,1,m){int x=read(),y=read(),z=read();adde(x,y,z);adde(y,x,z);} 60 dij();build(); 61 m=read(); 62 rep (i,1,m) q[i].x=read(),q[i].y=read(),q[i].w=read(),q[i].id=i; 63 sort(&a[1],&a[cnt+1],cmp_a);sort(&q[1],&q[m+1],cmp_q); 64 rep (i,1,n) fa[i]=i,vis[i]=0;int j=1; 65 rep (i,1,m){ 66 for (;j<=cnt&&a[j].w<=q[i].w;j++) fa[getfa(a[j].x)]=getfa(a[j].y); 67 if (getfa(q[i].x)==getfa(q[i].y)) vis[q[i].id]=1; 68 } 69 rep (i,1,m) puts(vis[i]?"TAK":"NIE"); 70 return 0; 71 }
