建立信号基站
建立信号基站
要建立一个信号基站服务n个村庄，这n个村庄用平面上的n个点表示。假设基站建立的位置在(X,Y)，则它对某个村庄(x,y)的距离为max{|X – x|, |Y – y|}， 其中| |表示绝对值，我们的目标是让所有村庄到信号基站的距离和最小。 基站可以建立在任何实数坐标位置上，也可以与某村庄重合。
输入： 给定每个村庄的位置x[],y[]，x,y都是整数，满足： -1000000000 < x,y < 1000000000 村庄个数大于1，小于101。
输出： 所有村庄到信号基站的距离和的最小值。 关于精度： 因为输出是double。我们这样判断对错，如果标准答案是A,你的答案是a，如果|Ａ – a| < 1e-3 我们认为是正确的，否则认为是错误的。 样例： 假设有4个村庄位置分别为 （1，4） （2，3） （0，1） （1，1） 我们的结果是5。因为我们可以选择（1.5，2.5）来建立信号基站。 bestDistance = max(|1.5-1|, |2.5-4|) + max(|1.5-2|,|2.5-3|) + max(|1.5-0|,|2.5-1|) + max(|1.5-1|,|2.5-1|) = max(0.5, 1.5) + max(0.5,0.5) + max(1.5,1.5) + max(0.5,1.5) = 1.5 + 0.5 + 1.5 + 1.5 = 5
函数头部: C/C++ double bestDistance(int n, cons int *x, const int *y); Java class Main() { public static double bestDistance(int [] x,int [] y); }
解题思路：
解题的关键在于如何处理max{|X – x|, |Y – y|}，可以通过分段函数讨论来证明，max{|x1-x2|,|y1-y2|},等价于（|x1+y1-x2-y2|+|x1-y1-(x2-y2)|）/2；
假设信号基站的坐标是(X , Y)，那么他与其他坐标的距离为max{|X – x1|, |Y – y1|} = （|X+Y-x1-y1|+|X-Y-(x1-y1)|）/2, ……，（|X+Y-xn-yn|+|X-Y-(xn-yn)|）/2;也就是最短距离
bestDistance = 1/2 * （|X+Y-(x1+y1)| + |X-Y-(x1-y1)| + |X+Y-(x2+y2)| + |X-Y-(x2-y2)| +……+ |X+Y-(xn+yn)|+|X-Y-( xn-yn)|） -- (1-1)
其中，x1+y1 、x1-y1 、 x2+y2 、 x2-y2 、……、xn+yn 、 xn-yn 均为常数, 通过题目所给的数组可以容易得到这些值
假设 U(X, Y) = X + Y , V(X, Y) = X - Y ;可以得到
bestDistance = 1/2 *(|U - U1| + |V - V1| + |U - U2| + |V - V2| + ……+ |U - Un| + |V - Vn|) -- (1 - 2)
= 1/2 *【(|U - U1| + |U - U2| + ……+ |U - Un|) + (|V - V1| + |V - V2| + ……+ |U - Un| + |V - Vn|) 】
这样，就转换为求函数 y = |x - x1| + |x - x2| + |x - x3| + ……+ |x - xn|的最小值的问题，也许有人会问，公式(1 - 2)有两个变量U , V，而函数y只有一个变量x，其实很好办，就将公式(1 - 2)按照变量 U 和 V分为两部分，分别求最小值，和起来也肯定是最小值；
对于函数 y = |x - x1| + |x - x2| + |x - x3| + ……+ |x - xn| （x1 , x2, ……xn是从小到大排列）的最小值；可以用数学归纳法求解：
证明：假设n = 2,则 y = |x - x1| + |x - x2|,假设 x1 < x2 ，当x ≤x1 < x2 时，y = x1 + x2 - 2x , ymin = x2- x1; 当 x1< x < x2时，
y = x2 - x1 ，则ymin = x2 - x1 ; 当 x ≥ x2 时，y = 2x - x1 - x2, ymin = x2 - x1；
若 n > 2 ，
当x < x1 < x2 <……< xn 时，y = (x1 - x) + (x2 - x) +…… +(xn - x) = (x1 + x2 + x3 +……+ xn) - n * x;
当x1 < x < x2 <……< xn 时，y = (x1 + x2 + x3 + …… + xn) - n * x + 2(x - x1);
当x1 < x2 < x <……< xn 时，y = (x1 + x2 + x3 + …… + xn) - n * x + 2[(x - x1) + (x - x2)];
……
所以，当x1 < x2 < …xk < x < xk+1 <…< xn 时，
y = (x1 + x2 + x3 + …… + xn) - n * x + 2[(x - x1) + (x - x2) + ……+ (x - xk)]
= (x1 + x2 + x3 + …… + xn) + 2[ (k - n/2)x - (x1 + x2 + ……+ xk) ] --(1 - 4)
对于公式(1 - 4)，两边求导，可知当k - n/2 < 0 时，即k < n/2时，y 单调递增; 当k - n/2 > 0 时，即k > n/2时，y 单调递减;因为k= {1，2，3,……n},为整数，若 n 为偶数，则当 k = n/2 时，x = xk, y 有最小值；若 n 为 奇数，则当 k = (n + 1)/2时，x = xk, y 有最小值，证毕
综上所述，得到的最终结论是：当 n 为偶数时，y的最小值为ymin = (xk+1 + xk+2 + ……+xn) - (x1 + x2 +……+ xk) ， k = n/2 ;当 n 为奇数时，y的最小值为ymin = (xk+1 + xk+2 + ……+xn) - (x1 + x2 +……+ xk - 1) , k = (n + 1)/2 .
回到公式(1 - 2),分别求出(|U - U1| + |U - U2| + ……+ |U - Un|) 和 (|V - V1| + |V - V2| + ……+ |U - Un| + |V - Vn|)的最小值，求平均数，即得到最小值bestDistance ，为程序所求.
下面贴出我编写的代码，代码十分混乱，可读性不高，仅供参考！
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> double bestDistance(int n, const int *x, const int *y); double bestDistance(int n, const int *x, const int *y) { int iterx = 0, itery = 0, temp = 0 ; int *tempx , *tempy; tempx = (int *)malloc(sizeof(int) * n); tempy = (int *)malloc(sizeof(int) * n); //time infigure for(iterx = 0; iterx <= n - 1; iterx++) { tempx[iterx] = x[iterx] + y[iterx]; } for(iterx = 0; iterx <= n - 1; iterx++) { //tempy[iterx] = abs(x[iterx] - y[iterx]); tempy[iterx] = (x[iterx] - y[iterx]); } // for(iterx = 0; iterx <= n - 1; iterx++) printf("X%d=%3d ",iterx,tempx[iterx]); // printf("\n"); for(iterx = 0; iterx <= n - 2; iterx++) { for(itery = iterx + 1; itery <= n - 1; itery++ ) { if(tempx[iterx] > tempx[itery]) { temp = tempx[iterx]; tempx[iterx] = tempx[itery]; tempx[itery] = temp; } } } // for(iterx = 0; iterx <= n - 1; iterx++) printf("X%d=%3d ",iterx,tempx[iterx]); // printf("\n"); for(iterx = 0; iterx <= n - 2; iterx++) { for(itery = iterx + 1; itery <= n - 1; itery++ ) { if(tempy[iterx] > tempy[itery]) { temp = tempy[iterx]; tempy[iterx] = tempy[itery]; tempy[itery] = temp; } } } //for(iterx = 0; iterx <= n - 1; iterx++) printf("X%d=%3d ",iterx,tempy[iterx]); long long sumXM = 0, sumXL = 0 , sumYM = 0 , sumYL = 0; int tempN = 0; // SUM_Xn - sumXn/2 for(iterx = 0; iterx <= n / 2 - 1; iterx++) { sumXL = sumXL + tempx[iterx]; } for(iterx = 0; iterx <= n / 2 - 1; iterx++) { sumYL = sumYL + tempy[iterx]; } // SUM_Yn - sumYn/2 if(n % 2 == 0) { tempN = n / 2 ; } else { tempN = n / 2 + 1; } for(iterx = tempN; iterx <= n - 1; iterx++) { sumXM = sumXM + tempx[iterx]; } for(iterx = tempN; iterx <= n - 1; iterx++) { sumYM = sumYM + tempy[iterx]; } // printf("\n(sumXM - sumXL)/2 = %lf\n",(sumXM - sumXL) / 1.0); // printf("\n(sumYM - sumYL)/2 = %f\n",(sumYL) / 1.0); return (sumXM - sumXL + sumYM - sumYL) / 2.0; } int main(void) { //time_t before = time(NULL); //printf("before = %ld秒\n", before); int x[19] = {858442934,-161749718,-55910439,347569202,-660170269,-982075453,-860790164,947179323,312298821,-285196111,967545126,-777105315,-630974471,-713895350,745616673,840630174,-597730146,-205693089,24677872}; int y[19] = {449535070,160026431,705809990,121634879,648304545,-392329548,-447666131,-829918127,926665890,943182185,601133076,-848803337,89719473,-586785144,832132969,-111884761,-556530757,65860874,978639057}; int n = 19; printf("\nthe result is %lf",bestDistance(n , x , y)); //time_t after = time(NULL); //printf("after = %ld秒\n", after); //printf("总共执行时间为：%ld秒\n", after - before); return 0; }
测试用例有：
int n = 19;
int x[19] = {858442934,-161749718,-55910439,347569202,-660170269,-982075453,-860790164,947179323,312298821,-285196111,967545126,-777105315,-630974471,-713895350,745616673,840630174,-597730146,-205693089,24677872};
int y[19] = {449535070,160026431,705809990,121634879,648304545,-392329548,-447666131,-829918127,926665890,943182185,601133076,-848803337,89719473,-586785144,832132969,-111884761,-556530757,65860874,978639057};
结果是 13560445376.500000
