指示器随机变量

算法导论课程中,老师在介绍随机算法的时候提到指示器随机变量(indicator random variable),感觉很有用的一个东东。

先介绍一下指示器随机变量。

给定一个样本空间S和 事件A,那么事件A对应的指示器随机变量I{A}=1(如果A发生),0(如果A不发生);

显而易见,事件A对应的指示器随机变量的期望等于事件A发生的概率。

举一个简单的例子:连续抛硬币n次,计算正面朝上的期望次数。

对此,有种显而易见的解法就是依次计算n次抛硬币中有1……n个硬币朝上的概率,然后根据离散型随机变量期望的定义(要求级数收敛)

求出期望,但是,显而易见,这样做工作量是个问题。

下面用指示器随机变量的思路解决这个问题:

可知:

 

可见指示器随机变量极大地简化了操作。

个人感觉,指示器随机变量的功用在于将一个大的问题拆分为n个比较简单的随机变量之和,然后通过计算这些简单的随机变量的数学期望,进而求和得出原问题的数学期望。有点类似分治法的意思。

为了熟练使用指示器随机变量,下面给出几个题目。

有n位顾客,他们每个人给餐厅负责保管帽子的服务生一顶帽子。服务生以随机的顺序将帽子归还给顾客。请问拿到自己帽子的顾客的期望数量是多少?

 

可以先想想怎么使用再看答案:

提示:

 

对于每个顾客而言,拿到自己的帽子的概率为

  2. 假设A[n]为由n个不同的数随机组成的数组,计算A[n]中逆序对个数的数学期望?

提示:

 

  3. R个人在楼的底层进入电梯,楼上有n层,每个乘客在任一楼层下电梯的概率相同。如果到某一层无乘客下电梯则电梯不停,求直到乘客都下完时电梯停车次数的数学期望。

提示:

总结:上面给出的三个典型例子,如果直接用期望定义去做,运算复杂度很高甚至于难以解决,但是,指示器随机变量的引入使得我们很方便的做出了这些个问题。

http://www.cnblogs.com/xubenben/archive/2012/12/18/2823098.html

posted on 2014-08-04 15:15  berkeleysong  阅读(212)  评论(0编辑  收藏  举报

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