[SCOI2014]方伯伯的玉米田

题目描述

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。这排玉米一共有N株，它们的高度参差不齐。方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高1单位高度，他可以进行最多K次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

输入输出格式

输入格式：

第1行包含2个整数n，K，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。第2行包含n个整数，第i个数表示这排玉米，从左到右第i株玉米的高度ai。

输出格式：

输出1个整数，最多剩下的玉米数。

输入输出样例

输入样例#1

3 1
2 1 3

输出样例#1

3

说明

1 < N < 10000，1 < K <= 500，1 <= ai <=5000

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题解

首先分析题目可以得到一个性质

每次选择的区间一定是原序列的一个后缀

这样就可以DP了

f[i][j]表示前i个数操作j次的最长不降子序列

\(f[i][j] = f[k][j - (val[k]-val[i] > 0 ? val[k]-val[i] : 0)] + 1\)

然后考虑怎么优化

我们发现这个转移类似于二维数点

每次转移是取一个一维是权值,一维是操作次数的矩形的前缀取max

所以可以用二维树状数组求前缀max将复杂度优化到\(nmlog^2\)

保证一维是位置,一维是权值即可

每次查询就是要找到val[j]使小于等于 \(val[i] + k\) 且 \(k >= j\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 6005 ;
const int N = 505 ;
using namespace std ;
inline int read() {
	char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
	while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
	while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
	return x*w ;
}

int n , m ;
int val[M << 1] , Ans ;
int tmax[M][N] , vmax ;
inline int lowbit(int x) { return x & (-x) ; }
inline void change(int v , int k , int x) {
	for( v ; v <= vmax + m ; v += lowbit(v))
	    for(int i = k ; i <= m + 1 ; i += lowbit(i))
	        tmax[v][i] = max(tmax[v][i] , x) ;
}
inline int query(int v , int k) {
	int temp = 0 ;
	for( ; v ; v -= lowbit(v))
	    for(int i = k ; i ; i -= lowbit(i))
	        temp = max(temp , tmax[v][i]) ;
	return temp ;
}
int main() {
	n = read() ; m = read() ;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) val[i] = read() , vmax = max(vmax , val[i]) ;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	    for(int j = m , ret ; j >= 0 ; j --) {
	    	ret = query(val[i] + j , j + 1) + 1 ;
	    	Ans = max(Ans , ret) ;
	    	change(val[i] + j , j + 1 , ret) ;
		}
	printf("%d\n",Ans) ;
	return 0 ;
}