CF482C Game with Strings

题意

你和你的朋友玩一个游戏，游戏规则如下。

你的朋友创造 n 个长度均为 m 的不相同的字符串，然后他随机地选择其中一个。他选择这些字符串的概率是相等的，也就是说，他选择 n 个字符串中的每一个的概率是 1/n 。你想猜猜你的朋友选择了哪个字符串。

为了猜到你的朋友选择了哪个字符串，你可以问他问题，形式如下：字符串中第　ｐｏｓ　个字符是什么？当问题的答案为唯一标识字符串时，我们认为这个字符串是猜测的。在字符串被猜测后，你将停止提问。

你没有一个特殊的策略，所以你每次可能会等概率的问任何一个你从没提过的位置。你的任务是确定你猜到你的朋友选的字符串所需次数的期望。

输入格式

第一行包括一个数字　ｎ　。接下来　ｎ　行，每行一个字符串，表示你朋友创造出的字符串。除此之外，所有字符的长度是相同的，在１~２０之间。

输出格式

输出期望。答案保留九位小数。误差在\(10^-9\)以内.

输入输出样例

输入样例#1：

2
aab
aac

输出样例#1：

2.000000000000000

输入样例#2：

3
aaA
aBa
Caa

输出样例#2：

1.666666666666667

输入样例#3：

3
aca
vac
wqq

输出样例#3：

1.000000000000000

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搞了一上午

撞鸭 + 期望

我们预处理出unf[i]表示在状态为i的情况下有哪些串是符合的

unf[i]我们可以通过枚举两个串来计算他们相同的位置

然后我们再从大到小更新unf

我们还可以求出来Num[i]表示在状态为i的情况下有多少串是符合的

f[i] 表示状态为i时距离确定的期望

然后就可以从后向前转移了

状态转移方程\(f[i] = \sum_{j = 1 \&\& (! i | (1 << (j - 1)))}^{n}{\frac{f[i]|1<<(j-1)]}{tot} * \frac{Num[i]|1<<(j-1)}{Num[i]}} + 1\)

tot表示的是状态i中还有多少个位置没问

解释下\(\frac{Num[i||1<<(j-1)}{Num[i]}\)的意思

设\(j = i | (1 << (j - 1)\)

num[j] 一定不大于 num[i]

因为是j向i转移不好考虑

换成i向j转移思考,i有num[j]种选择可以变成j的样子

但是有(num[i]-num[j])的选择是可以直接分辨出答案来的

所以由j向i转移的时候就只需要考虑到那num[j]种情况,所以只有\(num[j]/num[i]\)的概率可以继续转移

余下的\((num[i]-num[j])/num[j]\)就是已经确定的那些

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
# define int long long
const int M = 55 ;
const int N = (1 << 20) + 5 ;
using namespace std ;
int m , n ;
char s[M][M] ;
int unf[N] , Num[N] ; 
double f[N] ;
# undef int
int main() {
# define int long long
	scanf("%lld",&m) ;
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++) scanf("%s",s[i] + 1) ;
	n = strlen(s[1] + 1) ;
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
	    for(int j = i + 1 , sit ; j <= m ; j ++) {
	    	sit = 0 ;
	    	for(int k = 1 ; k <= n ; k ++)
	    	    if(s[i][k] == s[j][k])
	    	        sit |= (1LL << (k - 1)) ;
		    unf[sit] |= (1LL << (i - 1)) ; 
			unf[sit] |= (1LL << (j - 1)) ;
		}
	for(int i = (1 << n) - 1 ; i >= 1 ; i --)
	    for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
	        if(i & (1 << (j - 1)))
	            unf[i ^ (1 << (j - 1))] |= unf[i] ; 
	for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++)
	    for(int j = 1 ; j <= m ; j ++)
	        if(unf[i] & (1LL << (j - 1)))
			    Num[i] ++ ;
	for(int i = (1 << n) - 2 , tot ; i >= 0 ; i --) {
		if(!Num[i]) continue ;
		tot = n ;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
		    if(i & (1 << (j - 1))) --tot ;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) {
			if(i & (1 << (j - 1))) continue ;
			f[i] += f[i | (1 << (j - 1))] / (double)tot * ((double)Num[i | (1 << (j - 1))] / (double)Num[i]) ;
		}
		f[i] += 1.0 ;
	}
	printf("%.10lf\n",f[0]) ;
	return 0 ;
}