[SDOI2010]地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式：

输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。

输出格式：

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

3

说明

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足N≤10；

对于40%的数据，满足N≤18；

对于70%的数据，满足N≤550；

对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

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思路好难想啊

只会暴力

然后发现好像有规律

然后可以跑个表出来扔oeis上

好像叫什么n阶交替排列

ta满足2个性质：　

1.如果i与i+1这两个数字不相邻,则交换i与i+1后仍能成为一个合法答案

2.将一个n阶的合法排列的每个数i都变成 n - i +１原序列仍然是一个合法答案

3.任取一个n阶的合法排列的子串，这个子串也是合法的答案

所以设f[i][j]表示一个i阶的排列第一位是j且是山峰的合法答案数量

所以式子为f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][i - j + 1]

如果第二个数不是j-1，根据性质一那么可以交换j-1，j,所以f[i][j] += f[i][j - 1]

如果第二个数是j-1，那么不可以交换j-1，我们就可以想成去掉第一位的j，单独考虑后i-1位

因为性质三任取一个n阶的合法排列的子串，这个子串也是合法的答案

但是第二位是波谷,想让ta成为波峰,根据性质三

可以让每一个数j都变成(i - 1) - j + 1

所以第一位就是(i - 1) - (j - 1) + 1

f[i][j] + f[i - 1][(i - 1) - (j - 1) +１]

然后滚动数组就好辣

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
const int M = 4205 ;
using namespace std ;
int n , p , f[2][M] , Ans ;
// f[i][j] 表示已经放完i个了,第一个数j的方案数 
int main() {
    cin >> n >> p ;
    if(n == 1) { printf("%d\n" , 1 % p) ; return 0 ; }
    f[2&1][2] = 1 ;
    for(int i = 3 ; i <= n ; i ++)
        for(int j = 2 ; j <= n ; j ++)
            f[i&1][j] = (f[i&1][j - 1] + f[(i - 1)&1][i - j + 1]) % p ;
    for(int i = 2 ; i <= n ; i ++) Ans = (Ans + f[n&1][i]) % p ;
    cout << (Ans << 1) % p << endl ;
    return 0 ;
}