[NOI2009]管道取珠
题目描述
管道取珠是小X很喜欢的一款游戏。在本题中，我们将考虑该游戏的一个简单改版。游戏画面如图1所示：
（图1）
游戏初始时，左侧上下两个管道分别有一定数量的小球（有深色球和浅色球两种类型），而右侧输出管道为空。每一次操作，可以从左侧选择一个管道，并将该管道中最右侧的球推入右边输出管道。
例如：我们首先从下管道中移一个球到输出管道中，将得到图2所示的情况。
（图2）
假设上管道中有n个球, 下管道中有m个球，则整个游戏过程需要进行n+m次操作，即将所有左侧管道中的球移入输出管道。最终n+m个球在输出管道中从右到左形成输出序列。
爱好数学的小X知道，他共有C(n+m，n)种不同的操作方式，而不同的操作方式可能导致相同的输出序列。举个例子，对于图3所示的游戏情形：
（图3）
我们用A表示浅色球，B表示深色球。并设移动上管道右侧球的操作为U，移动下管道右侧球的操作为D，则共有C(2+1，1)=3种不同的操作方式，分别为UUD，UDU，DUU；最终在输出管道中形成的输出序列（从右到左）分别为BAB，BBA，BBA。可以发现后两种操作方式将得到同样的输出序列。
假设最终可能产生的不同种类的输出序列共有K种，其中：第i种输出序列的产生方式（即不同的操作方式数目）有ai个。聪明的小X早已知道，
\(Σai=C(n+m,n)\)
因此，小X希望计算得到：
\(Σ(ai)^2\)
你能帮助他计算这个值么？由于这个值可能很大，因此只需要输出该值对1024523的取模即可（即除以1024523的余数）。
说明：文中C(n+m，n)表示组合数。组合数C(a，b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
输入输出格式
输入格式：
输入文件中的第一行为两个整数n，m，分别表示上下两个管道中球的数目。
第二行中为一个AB字符串，长度为n，表示上管道中从左到右球的类型。其中：A表示浅色球，B表示深色球。
第三行中为一个AB字符串，长度为m，表示下管道中的情形。
输出格式：
输出文件中仅一行为一个整数，即为 除以1024523的余数。
输入输出样例
输入样例#1：
2 1
AB
B
输出样例#1：
5
说明
【样例说明】
样例即为文中（图3）。共有两种不同的输出序列形式，序列BAB有1种产生方式，而序列BBA有2种产生方式，因此答案为5。
【数据规模和约定】
对于30%的数据，满足：m，n<=12；
对于100%的数据，满足：m，n<=500。
DP神题啊
咋想出来的？？
一开始看这道题一脸懵逼
这TM让我咋DP ？？？
随便写了发暴力搜索，30分还是很好拿的，状压搜一下就好了
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 15 ;
const int N = 16800000 ;
const int mod = 1024523 ;
using namespace std ;
inline int read() {
char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
return x*w ;
}
int n , m ;
char s[M] ;
int v1[M] , v2[M] , p[N] , Ans ;
inline void Dfs(int up , int dw , int sit , int w) {
if(w > n + m) p[sit] ++ ;
if(up <= n) Dfs(up + 1 , dw , v1[up] ? (sit | (1<<(w - 1))) : sit , w + 1) ;
if(dw <= m) Dfs(up , dw + 1 , v2[dw] ? (sit | (1<<(w - 1))) : sit , w + 1) ;
}
int main() {
n = read() ; m = read() ;
scanf("%s",s + 1) ; for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) v1[n - i + 1] = s[i] - 'A' ;
scanf("%s",s + 1) ; for(int i = 1 ; i <= m ; i ++) v2[m - i + 1] = s[i] - 'A' ;
Dfs(1 , 1 , 0 , 1) ;
for(int i = 0 ; i < (1<<(n + m)) ; i ++)
Ans = (Ans + 1LL * p[i] * p[i])%mod ;
printf("%d\n",Ans) ;
return 0 ;
}
然后考虑正解
此题正解甚火
我们用\(f[i][j][k][l]\)表示两个人同时取出了\(i+j\)个球
第一个人第1行取了i个球，第二行取了j个球
第二个人第1行取了k个球，第二行取了l个球
证明
因为他要让我们求出每种状态出现次数的平方和
这样模拟两人取球的时候
设第一个人取球的方案为A
第二个人取球的方案为B
这样对于每一个A，都有C(n + m , n)种B的方案与之对应
所以这样求出来正好是每种状态出现次数的平方和
然后具体思路就完了
但是这样会爆空间
最后一维显然可以通过\(i + j - k\)计算出来，可以不要
第一维由于要不就是从i -1递推，要不就是从i递推，所以可以滚动掉
这样空间就可以优化成O(n2)，时间O(n2m)
/*
f[i][j][k]表示第1种方案第一行选了i个，第二行选了j个
第二种方案第一行选了k个，第二行选了i+j-k个
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 505 ;
const int mod = 1024523 ;
using namespace std ;
inline int read() {
char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
return x*w ;
}
int n , m ;
int f[2][M][M] , cur ;
char up[M] , dw[M] ;
int main() {
n = read() ; m = read() ;
scanf("%s",up + 1) ; scanf("%s",dw + 1) ;
f[0][0][0] = 1 ;
for(int i = 0 , l ; i <= n ; i ++ , cur ^= 1)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
for(int k = 0 ; k <= n ; k ++) {
if(f[cur][j][k] == 0) continue ;
l = i + j - k ;
if(up[i + 1] == up[k + 1])
f[cur ^ 1][j][k + 1] = (f[cur ^ 1][j][k + 1] + f[cur][j][k])%mod ;
if(up[i + 1] == dw[l + 1])
f[cur ^ 1][j][k] = (f[cur ^ 1][j][k] + f[cur][j][k])%mod ;
if(dw[j + 1] == up[k + 1])
f[cur][j + 1][k + 1] = (f[cur][j + 1][k + 1] + f[cur][j][k])%mod ;
if(dw[j + 1] == dw[l + 1])
f[cur][j + 1][k] = (f[cur][j + 1][k] + f[cur][j][k])%mod ;
f[cur][j][k] = 0 ;
}
printf("%d\n",f[cur][m][n]) ;
return 0 ;
}
