[JSOI2015]染色游戏

Description

棋盘是一个n×m的矩形，分成n行m列共n*m个小方格。
现在萌萌和南南有C种不同颜色的颜料，他们希望把棋盘用这些颜料染色，并满足以下规定：
1.棋盘的每一个小方格既可以染色（染成C种颜色中的一种），也可以不染色。
2.棋盘的每一行至少有一个小方格被染色。
3.棋盘的每一列至少有一个小方格被染色。
4.每种颜色都在棋盘上出现至少一次。
请你求出满足要求的不同的染色方案总数。只要存在一个位置的颜色不同，
即认为两个染色方案是不同的

Input

输入只有一行 3 个整数n,m,c。1 < = n,m,c < = 400

Output

输出一个整数，为不同染色方案总数。
因为总数可能很大，只需输出总数mod 1,000,000,007的值。

Sample Input

2 2 3

Sample Output

60

---

题解

容斥
枚举至多有\(k\)种颜色被使用
然后发现还是不能求出答案
那就继续容斥
至多\(i\)行被染色
至多\(j\)列被染色
然后答案就是\((-1)^{n+m+c-i-j-k}\times C_{n}^{i}\times C_{m}^{j}\times C_{c}^{k} \times (k+1)^{i\times j}\)

代码

#include<cstdio>
const int M = 405 ;
const int mod = 1e9 + 7 ;
using namespace std ;

int n , m , c , ans , C[M][M] , pw[M][M * M] ;
int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&c) ;
	for(int i = 0 ; i <= 400 ; i ++) {
		C[i][0] = 1 ;
		for(int j = 1 ; j <= i ; j ++) C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod ;
	}
	for(int i = 1 ; i <= c + 1 ; i ++) {
		pw[i][0] = 1 ;
		for(int j = 1 ; j <= n * m ; j ++) pw[i][j] = 1LL * pw[i][j - 1] * i % mod ;
	}
	for(int i = n ; i >= 0 ; i --)
		for(int j = m ; j >= 0 ; j --)
			for(int k = c ; k >= 0 ; k --)
				ans = (ans + 1LL * ( (n + m + c - i - j - k) % 2 ? ( mod - 1 ) : 1 ) * C[n][i] % mod * C[m][j] % mod * C[c][k] % mod * pw[k + 1][i * j] % mod) % mod ;
	printf("%d\n",ans) ;
	return 0 ;
}