[HNOI2014]江南乐
题目描述
小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后,小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。
游戏的规则是这样的,首先给定一个数F,然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子,小A和他的对手轮流操作。每次操作时,操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的,而且每次操作时可不一样),然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆,并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1(即分的尽量平均,事实上按照这样的分石子万法,选定M和一堆石子后,它分出来的状态是固定的)。当一个玩家不能操作的时候,也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时,他就输掉。(补充:先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后,此时共有N+M-1)堆石子,接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子,依此类推。
小A从小就是个有风度的男生,他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道,面对给定的一组游戏,而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话,究竟谁能够获得胜利?
输入输出格式
输入格式:
输入第一行包含两个正整数T和F,分别表示游戏组数与给定的数。 接下来T行,每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数,表示这N堆石子分别有多少个。
输出格式:
输出一行,包含T个用空格隔开的0或1的数,其中0代表此时小A(后手)会胜利,而1代表小A的对手(先手)会胜利。
输入输出样例
输入样例#1:
4 3
1 1
1 2
1 3
1 5
输出样例#1:
0 0 1 1
说明
对于100%的数据,T<100,N<100,F<100000,每堆石子数量<100000。
以上所有数均为正整数。
题解
可以看出这是一个\(Multi\_nim\)游戏
那么我们要求出大小为\(x\)的一堆石子的\(SG(x)\)
可以枚举\(m\),然后大小为\(\frac{x}{m}+1\)的有\(x\%m\)个
,大小为\(\frac{x}{m}\)的有\(m-x\%m\)个
由于是若干个相同的游戏异或
所以只有游戏个数为奇数时才有贡献
这样\(SG(x)=mex(SG(\frac{x}{m})[m-x\%m \mod 2]\oplus SG(\frac{x}{m}+1))[x\%m \mod 2]\)
这样的复杂度是\(O(n^2)\)
那么我们考虑怎么来搞这个题
可以发现要求一个函数的\(SG\)值需要的就是\(SG(\frac{x}{m})\)和\(SG(\frac{x}{m}+1)\)
这类似于整除分块
所以直接对\(x\)整除分块即可
代码
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 100005 ;
using namespace std ;
inline int read() {
char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
return x*w ;
}
bool exist[M] ;
int vis[M] ;
int F , n , sg[M] ;
int SG(int x) {
if(x < F) return 0 ;
if(exist[x]) return sg[x] ;
for(int l = 2 , r ; l <= x ; l = r + 1) {
r = x / (x / l) ;
for(int m = l ; m <= min(l + 1 , x) ; m ++) {
int tmp = 0 ;
if((x % m) % 2) tmp ^= SG(x / m + 1) ;
if((m - x % m) % 2) tmp ^= SG(x / m) ;
vis[tmp] = x ;
}
}
for(int i = 0 ; i <= x + 1 ; i ++)
if(vis[i] != x) {
sg[x] = i ;
break ;
}
exist[x] = true ;
return sg[x] ;
}
int main() {
int Case = read() ; F = read() ;
while(Case --) {
n = read() ; int ans = 0 ;
for(int i = 1 , x ; i <= n ; i ++) {
x = read() ;
ans ^= SG(x) ;
}
if(!ans) printf("0 ") ;
else printf("1 ") ;
}
return 0 ;
}