[BJOI2019]奥术神杖

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题解

\(AC\)自动机+一些小\(trick\)
首先看如果当前串的一个子串能匹配某个串,那么就要加上那个串的贡献
这样的多串匹配问题显然只能是\(AC\)自动机
然后可以先预处理出来在\(AC\)自动机上每个节点的价值
也就是加上这个点\(u\)后可以匹配\(Num_u\)个子串,总价值是\(val_u\)
看到题目计算的答案是若干个数连乘然后最后还要开个根号
那么就可以想到对每个点的价值取\(log\)然后将乘法转化成加法,开根号转化成除法
这样题目就变成了求\(\max (\frac{\sum val_i}{\sum num_i})\)
这个东西就可以用分数规划来二分一个\(k\)
然后对每个\(val_u\)减去\(num_u\times k\)
直接跑\(dp\),\(f[i][j]\)表示匹配到第i个字符,到节点\(j\)处的最大贡献
如果最后\(max (f_{n,i}) > 0\)(这里如果写>=0会出问题)就说明这个\(k\)合法
\(dp\)的时候记录一下前驱然后输出即可

代码

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 1550 ;
const double EPS = 1e-4 ;
using namespace std ;

char s[M] , st[M] , ans[M] ;
double f[M][M] , val[M] ;
int n , m , v , cnt , nowp , Num[M] ;
struct Node {
    int p , c ;
} pre[M][M] ;
struct Trie {
    int son[10] , fail ;
    double val ; bool End ;
} t[M] ;

inline void insert(double dlt) {
    int len = strlen(s + 1) , now = 0 ;
    for(int i = 1 , c ; i <= len ; i ++) {
        c = s[i] - '0' ;
        if(!t[now].son[c])
            t[now].son[c] = ++ cnt ;
        now = t[now].son[c] ;
    }
    t[now].val += dlt ; t[now].End = true ;
}
inline void build_fail() {
    queue < int > q ;
    for(int i = 0 ; i < 10 ; i ++) 
        if(t[0].son[i])
            q.push(t[0].son[i]) ;
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front() ; q.pop() ;
        for(int c = 0 ; c < 10 ; c ++) {
            if(!t[u].son[c])
                t[u].son[c] = t[t[u].fail].son[c] ;
            else {
                t[t[u].son[c]].fail = t[t[u].fail].son[c] ;
                q.push(t[u].son[c]) ;
            }
        }
    }
    for(int u = 1 ; u <= cnt ; u ++) {
        int p = u ;
        while(p) {
            val[u] += t[p].val ;
            if(t[p].End) ++ Num[u] ;
            p = t[p].fail ;
        }
    }
    
}

inline double check(double k) {
    for(int u = 1 ; u <= cnt ; u ++)
        val[u] -= Num[u] * k ;
    memset(f , -63 , sizeof(f)) ;
    f[0][0] = 0 ;
    for(int i = 0 , c ; i < n ; i ++) {
        if(st[i + 1] != '.') c = st[i + 1] - '0' ;
        for(int u = 0 ; u <= cnt ; u ++) {
            if(st[i + 1] != '.') {
                if( f[i][u] + val[t[u].son[c]] > f[i + 1][t[u].son[c]] ) {
                    pre[i + 1][t[u].son[c]].p = u , pre[i + 1][t[u].son[c]].c = c ;
                    f[i + 1][t[u].son[c]] = f[i][u] + val[t[u].son[c]] ;
                }
            }
            else {
                for(c = 0 ; c < 10 ; c ++) {
                    if( f[i][u] + val[t[u].son[c]] > f[i + 1][t[u].son[c]] ) {
                        pre[i + 1][t[u].son[c]].p = u , pre[i + 1][t[u].son[c]].c = c ;
                        f[i + 1][t[u].son[c]] = f[i][u] + val[t[u].son[c]] ;
                    }
                }
            }
        }
    }
    double tmp = -1e8 ;
    for(int i = 0 ; i <= cnt ; i ++)
        tmp = max(tmp , f[n][i]) ;
    for(int u = 1 ; u <= cnt ; u ++)
        val[u] += Num[u] * k ;
    return tmp ;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m) ;
    scanf("%s",st + 1) ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
        double v ;
        scanf("%s",s + 1) ;
        scanf("%lf",&v) ;
        v = log(v) ;
        insert(v) ;
    }	
    build_fail() ;
    double l = 0 , r = 1e5 , k ;
    while(r - l >= EPS) {
        double mid = (l + r) / 2.0 ;
        if(check(mid) > 0) l = mid , k = mid ;
        else r = mid ;
    }
    check(k) ;
    double tmp = 0 ;
    for(int i = 0 ; i <= cnt ; i ++)
        if(f[n][i] > tmp) {
            tmp = f[n][i] ;
            nowp = i ;
        }
    int w = n ;
    while(w) {
        ans[w] = pre[w][nowp].c + '0' ;
        nowp = pre[w][nowp].p ;
        -- w ;
    }
    printf("%s\n",ans + 1) ;
    return 0 ;
}