[HNOI2007]分裂游戏

题目描述

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。 该游戏的规则试： 共有 n 个瓶子， 标号为 0,1,2.....n-1, 第 i 个瓶子中装有 p[i]颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 3 个瓶子。标号为 i,j,k, 并要保证 i < j , j < = k 且第 i 个瓶子中至少要有 1 颗巧克力豆，随后这个人从第 i 个瓶子中拿走一颗豆 子并在 j,k 中各放入一粒豆子（j 可能等于 k） 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输 掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！ 两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考 了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜 策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子 中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为 了必胜，第一步有多少种取法？ 假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000

输入输出格式

输入格式：

输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数，接下来为t组测试数据（t<=10）。每组测试数据的第一行是瓶子的个数n，接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数，表示每个瓶子中的豆子数。

输出格式：

对于每组测试数据，输出包括两行，第一行为用一个空格两两隔开的三个整数，表示要想赢得游戏，第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k，如果有多组符合要求的解，那么输出字典序最小的一组。如果无论如何都无法赢得游戏，那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。第二行表示要想确保赢得比赛，第一步有多少种不同的取法。

输入输出样例

输入样例#1：

2
4
1 0 1 5000
3
0 0 1

输出样例#1：

0 2 3
1
-1 -1 -1
0

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题解

刚刚学习了\(Multi\_SG\)游戏
然后还是煤油搞出来这道题
首先通过观察我们可以发现当石子的个数为偶数个的时候后手操作可以对先手操作进行模仿
那么要描述这个局面就只需要考虑石子数量是奇数的石子堆了
这样整个序列就可以看做是一个01序列
然后可以看出必败态就是除了最后一个瓶子有豆子外其他的瓶子都没有豆子了
由于整个数列可以看做是一个01数列
那么我们就只需要考虑一个石子的移动
这样我们就可以设\(SG(x)\)表示在\(x\)处有一个石子,ta到必败态的\(SG\)值
那么显然\(SG(n)=0\)
那么我们就可以倒着推出每个位置的\(SG\)值
然后描述局面\(sit\)就是将所有是奇数个石子的堆的\(SG\)函数异或起来
题目让求第一步的合法必胜方案
我们就枚举三元组\((i,j,k),i<j,j\le k,i\)堆必须有石子
由于是必胜方案
所以走完这步以后就要让对面进入必败方案
所以就找\(sit\oplus SG(i)\oplus SG(j)\oplus SG(k)=0\)的三元组即可

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 55 ;
using namespace std ;

inline int read() {
    char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
    while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
    while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ;  c = getchar() ; }
    return x*w ;
}

bool vis[M] ;
int n , tmp , ans ;
int A , B , C , val[M] , sg[M] ;

int main() {
    int Case = read() ;
    while(Case --) {
        n = read() ; 
        ans = 0 ; tmp = 0 ; A = B = C = 0 ;
        memset(sg , 0 , sizeof(sg)) ;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
            val[i] = read() ;
        for(int i = n - 1 ; i >= 1 ; i --) {
            memset(vis , false , sizeof(vis)) ;
            for(int j = i + 1 ; j <= n ; j ++)
                for(int k = j ; k <= n ; k ++)
                    vis[sg[j] ^ sg[k]] = true ;
            for(int j = 0 ; ; j ++) 
                if(!vis[j]) {
                    sg[i] = j ;
                    break ;
                }
        }
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
            if(val[i] & 1)
                tmp ^= sg[i] ;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
            if(val[i])
                for(int j = i + 1 ; j <= n ; j ++)
                    for(int k = j ; k <= n ; k ++)
                        if(!(tmp ^ sg[i] ^ sg[j] ^ sg[k])) {
                            if(!ans) 
                                A = i , B = j , C = k ;
                            ++ ans ;
                        }
        printf("%d %d %d\n%d\n",A - 1 , B - 1 , C - 1 , ans) ;
    }
    return 0 ;
}