[SDOI2013]保护出题人

题目

出题人铭铭认为给SDOI2012出题太可怕了，因为总要被骂，于是他又给SDOI2013出题了。

参加SDOI2012的小朋友们释放出大量的僵尸，企图攻击铭铭的家。而你作为SDOI2013的参赛者，你需要保护出题人铭铭。

僵尸从唯一一条笔直道路接近，你们需要在铭铭的房门前放置植物攻击僵尸，避免僵尸碰到房子。

第一关，一只血量为\(a_1\)点的墦尸从距离房子\(x_1\)米处速接近，你们放置了攻击力为\(y_1\)点/秒的植物进行防御；第二关，在上一关基础上，僵尸队列排头增加一只血量为\(a_2\)点的僵尸，与后一只僵尸距离\(d\)米，从距离房\(x_2\)米处匀速接近，你们重新放置攻击力为\(y_2\)点/秒的植物；……；第\(n\)关，僵尸队列共有\(n\)只僵尸，相邻两只僵尸距离\(d\)米，排头僵尸血量为\(a_n\)点，排第二的 僵尸血量\(a_{n-1}\)，以此类推，排头僵尸从距离房子\(x_n\)米处匀速接近，其余僵尸跟随排头同时接近，你们重新放置攻击力为\(y_n\)点/秒的植物。

每只僵尸直线移动速度均为\(1\)米/秒，由于植物射击速度远大于僵尸移动速度，可忽略植物子弹在空中的时间。所有僵尸同时出现并接近，因此当一只僵尸死亡后，下一只僵尸立刻开始受到植物子弹的伤害。

游戏得分取决于你们放置的植物攻击力的总和\(\sum \limits _{i=1} ^{n} y_i\)，和越小分数越高，为了追求分数上界，你们每关都要放置攻击力尽量小的植物。

作为SDOI2013的参赛选手，你们能保护出题人么？
输入输出格式
输入格式：
第一行两个空格隔开的正整数n和d，分别表示关数和相邻僵尸间的距离。

接下来n行每行两个空格隔开的正整数，第i + 1行为Ai和 Xi，分别表示相比上一关在僵尸队列排头增加血量为Ai 点的僵尸，排头僵尸从距离房子Xi米处开始接近。

输出格式：
一个数，n关植物攻击力的最小总和 ，保留到整数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 2
3 3
1 1
10 8
4 8
2 3

输出样例#1： 复制

7

说明

第一关：距离房子3米处有一只血量3点的僵尸，植物最小攻击力为1.00000；
第二关：距离房子1米处有一只血量1点的僵尸、3米处有血量3点的僵尸，植物最小攻击力为1.33333；
第三关：距离房子8米处有一只血量10点的僵尸、10米处有血量1点的僵尸、12米处有血量3点的僵尸，植物最小攻击力为1.25000；
第四关：距离房子8米处有一只血量4点的僵尸、10米处有血量10点的僵尸、12米处有血量1点的僵尸、14米处有血量3点的僵尸，植物最小攻击力为1.40000；
第五关：距离房子3米处有一只血量2点的僵尸、5米处有血量4点的僵尸、7米处有 血量10点的僵尸、9米处有血量1点的僵尸、11米处有血量3点的僵尸，植物最小攻击力 为2.28571。
植物攻击力的最小总和为7.26905。

对于100%的数据， 1<=n<=10^5，1<=d<=1012,1<=x<= 10^12,1<=a<=1012

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题解

思维僵化,只想着能不能求点积的最大值忘了考虑斜率最大值了
单调栈维护下凸包
\(f_i = max(\frac{sum[i] - sum[j-1]}{x[i] + (i - j)d})\)
然后发现式子似乎与斜率有关系
那就考虑把有\(i\)的项和有\(j\)的项分开
\(f_i=\frac{sum[i] - sum[j-1]}{x_i+id - jd}\)
这样可以发现\(f_i\)似乎就是点\(A(x_i+id , sum[i])\)和点\(B(jd , sum[j-1])\)的斜率的最大值
然后可以发现\(x_i+id\)的大小是单增的
而且一定在\(j\)的右边
并且\(sum_i\)也是单增的,而且在\(j\)的上边
那么我们就可以维护一个点为\((id,sum[i-1])\)的下凸包
斜率最大的点就一定在这个下凸包上
并且点\((x_i+id,sum[i])\)与点\((jd , sum[j-1])\)斜率在下凸包上是单调的
三分就行了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int M = 100005 ;
using namespace std ;

int n , tp ;
double d , ans , val[M] , stp[M] , sum[M] ;
struct Vec { double x , y ; } st[M] ;
inline Vec operator - (Vec a , Vec b) { return (Vec) { a.x - b.x , a.y - b.y } ; }
inline double Cross(Vec a , Vec b) { return a.x * b.y - a.y * b.x ; }
inline double Slope(Vec a , Vec b) { return (a.y - b.y) / (a.x - b.x) ; }

int main() {
	scanf("%d%lf",&n,&d) ;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		scanf("%lf%lf",&val[i] , &stp[i]) ;
		sum[i] = sum[i - 1] + val[i] ;
		Vec po = (Vec) { stp[i] + i * d , sum[i] } , pi = (Vec) { i * d , sum[i - 1] } ;
		while(tp > 1 && Cross(pi - st[tp - 1] , st[tp] - st[tp - 1]) > 0) -- tp ;
		st[++tp] = pi ;
		int l = 1 , r = tp , lmid , rmid ;
		while(r - l >= 3) {
			lmid = (l + r) >> 1 ; rmid = (lmid + r) >> 1 ;
			if(Slope(po , st[lmid]) > Slope(po , st[rmid])) r = rmid ;
			else l = lmid ;
		}
		lmid = (l + r) >> 1 ; rmid = (lmid + r) >> 1 ;
		ans += max(Slope(po , st[l]) , max(Slope(po , st[r]) , max(Slope(po , st[lmid]) , Slope(po , st[rmid])))) ;
	}
	printf("%.0lf\n",ans) ;
	return 0 ;
}