[BZOJ4244]邮戳拉力赛

Description

IOI铁路是由N+2个站点构成的直线线路。这条线路的车站从某一端的车站开始顺次标号为0...N+1。
这条路线上行驶的电车分为上行电车和下行电车两种，上行电车沿编号增大方向行驶，下行电车沿编号减小方向行驶。乘坐这两种电车的话，移动1站的距离需要T秒。换句话说，乘坐上行电车从车站i走到车站i+1需要T秒，称作下行电车从车站i走到车站i-1也需要T秒。你不能在0号车站乘坐下行电车，或在N+1号车站乘坐上行电车。由于电车发车的频率非常高，你可以无视等待电车消耗的时间。
每个车站设有上行电车的站台和下行电车的站台，连接两个站台的道路上设有邮戳台。
现在，IOI铁路召开了邮戳拉力赛。在拉力赛中，选手需要从0号车站的上行电车站台出发，在1...N号车站各盖一枚邮戳，最终到达N+1号车站的上行电车站台即可完成。
为了在每个车站盖上邮戳，必须从电车上下来，步行走到车站通路上的邮戳台。在i号车站的上行电车站台、邮戳台、下行电车站台之间移动所消耗的时间如下所示：
从车站i的上行电车站台到邮戳台的时间为Ui秒
从车站i的邮戳台到上行电车站台的时间为Vi秒
从车站i的下行电车站台到邮戳台的时间为Di秒
从车站i的邮戳台到下行电车站台的时间为Ei秒
邮戳拉力赛的选手只能访问0号车站与N+1号车站各一次。1...N号车站都可以访问任意多次。

现在给出有邮戳台的车站个数、乘坐电车移动一站的时间、在每个车站的上行电车站台、邮戳台、下行电车站台之间移动所消耗的时间，请你求出完成邮戳拉力赛的最短时间。
这个时间包括从0号车站出发，按下N个邮戳后到达N+1号车站的时间。无视等车的时间和按邮戳的时间。

Input

第一行两个空格分隔的整数N和T，表示有N+2个车站，电车行驶一站的距离需要T秒
接下来N行，第i行有四个空格分隔的整数Ui,Vi,Di,Ei，分别表示：
从车站i的上行电车站台到邮戳台的时间为Ui秒
从车站i的邮戳台到上行电车站台的时间为Vi秒
从车站i的下行电车站台到邮戳台的时间为Di秒
从车站i的邮戳台到下行电车站台的时间为Ei秒

Output

输出一行一个整数，表示完成邮戳拉力赛的最短时间。

Sample Input

4 1
1 1 1 1
1 9 9 1
9 9 1 1
1 9 9 1

Sample Output

23

HINT

从车站0出发，按照2-1-4-3-1-5的顺序访问车站可以达到最短时间。

1<=N<=3000

1<=T<=10^5

1<=Ui<=10^5(1<=i<=N)

1<=Vi<=10^5(1<=i<=N)

1<=Di<=10^5(1<=i<=N)

1<=Ei<=10^5(1<=i<=N)

---

题解

背包神题

一开始感觉是个费用流==

然后想了半天也没想出来咋做

正解是dp

对于每一站,有4种经过该站的方法

1.左边进左边出

2.右边进右边出

3.右边进右边出

4.左边进左边出

第三,四种情况就相当于在路径上走了个环

从最后完成整个旅程后的路径上来看

前i个车站中,出现情况三的次数一定不少于出现情况四的次数

因为最后必须要乘向右的车才能到达终点

所以最后出现情况三,四的次数相等

我们只需要计算在环上多走了多少路,最后再加上走的有效距离\((n+1)*t\)

这样我们可以把情况三抽象成左括号,情况四抽象成右括号

然后这个题目就变成了一个括号序列了

用\(f[i][j]\)表示前i个车站还剩余j个左括号的最小花费

注意第一二种情况在一个车站只会出现一次,否则没有意义

但是第三四种情况在一个车站可能会出现多次

所以在枚举完本车站的四种情况后还要考虑在一个车站多次出现三,四情况

再完全背包一下就好了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 3005 ;
using namespace std ;
inline int read() {
	char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
	while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
	while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
	return x*w ;
}

int n , m ;
int f[M][M] ;
int main() {
	n = read() ; m = read() ; 
	memset(f , 63 , sizeof(f)) ; f[0][0] = 0 ;
	for(int i = 1 , u , v , d , e ; i <= n ; i ++) {
		u = read() , v = read() , d = read() , e = read() ;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) f[i - 1][j] += j * m * 2 ;
		// 拿了邮戳直接走 
		for(int j = 0 ; j <= n ; j ++) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j] + u + v) ;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j] + d + e) ;
		// 增加一个左括号,从下面往上走 
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + d + v) ;
		// 增加一个右括号,从上面往下走 
		for(int j = 0 ; j < n ; j ++) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j + 1] + u + e) ;
	    // 再重复走一遍这个地方,增加一个左括号,从下面往上走 
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i][j - 1] + d + v) ;
	    // 再重复走一遍,增加一个右括号,从上面往下面走 
		for(int j = n - 1 ; j >= 0 ; j --) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i][j + 1] + u + e) ;
	}
	cout << f[n][0] + (n + 1) * m << endl ;
	return 0 ;
}