Logistic Regression理论总结
简述：
1. LR 本质上是对正例负例的对数几率做线性回归，因为对数几率叫做logit，做的操作是线性回归，所以该模型叫做Logistic Regression。
2. LR 的输出可以看做是一种可能性，输出越大则为正例的可能性越大，但是这个概率不是正例的概率，是正例负例的对数几率。
3. LR的label并不一定要是0和1，也可以是-1和1，或者其他，只是一个标识，标识负例和正例。
4. Linear Regression和Logistic Regression的区别： 这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]之内。而逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。
5. 模型非常简单。应用到线上时，prediction的计算非常容易做。在O(1)的时间复杂度之内就能够给出模型的预测值，这对于线上数据暴风雨般袭来的时候非常有用。
6. 模型可解释性强。对于LR模型，每个特征xi的参数wi就是该特征的权重，wi越大，则特征权重越大；越小，则特征权重越小。因此LR的模型往往非常直观，而且容易debug，而且也容易手动修改。
7. 模型的输出平滑。由于Logistic function的作用，LR的输出值是(0,1)之间的连续值，更重要的是，这个值能从某种角度上表示样本x是正例的可能性， 输出值越接近1，则样本是正例的可能性就越大,输出值越接近0，样本是负例的可能性就越大。
详细理解Logistic Regression：
1. 从最大似然估计 (MLE)来理解：（以正负label为1,0来举例）
直觉上，一个线性模型的输出值 y 越大，这个事件 P(Y=1|x) 发生的概率就越大。 另一方面，我们可以用事件的几率（odds）来表示事件发生与不发生的比值，假设发生的概率是 p ，那么发生的几率（odds）是 p/(1-p) ， odds 的值域是 0 到正无穷，几率越大，发生的可能性越大。将我们的直觉与几率联系起来的就是下面这个（log odds）或者是 logit 函数：
进而可以求出概率 p 关于 w 点乘 x 的表示：
这就是传说中的 sigmoid function 了，以 w 点乘 x 为自变量，函数图像如下:
Logsitic regression 输出的是分到每一类的概率，参数估计的方法自然就是最大似然估计 (MLE) 咯。对于训练样本来说，假设每个样本是独立的，输出（标签）为 y = {0, 1}，样本的似然函数就是将所有训练样本 label 对应的输出节点上的概率相乘, 令 p = P(Y=1|x) ,如果 y = 1, 概率就是 p， 如果 y = 0, 概率就是 1 - p ， 将这两种情况合二为一，得到似然函数：
下面就是求极值，逻辑回归学习中通常采用的方法是梯度下降法 和 牛顿法。
2. 从最小化损失函数来理解：（以正负label为1,-1来举例）
LR 的基本假设是数据类别间是由一个线性的 decision boundary 隔开的，换句话说
再结合
可以解得：
在 training data 上进行 maximum log-likelihood 参数估计是
这个 binary 的情况所具有的特殊形式还可以从另一个角度来解释：先抛开 LR，直接考虑 Empirical Risk Minimization (ERM) 的训练规则，也就是最小化分类器在训练数据上的 error：
但是这是个离散的目标函数优化非常困难，所以我们寻求函数
的一个 upper bound
，然后去最小化
当取
（该函数通常称作 log loss）时 (如果要严格地作为一个 upper bound，我们需要使用以 2 为底的对数。不过由于只是对 loss function 做一个常数缩放，对优化结果并没有什么影响，所以方便起见我们实际使用自然对数。)，即得到同上述一样的式子，也就是 LR 的目标函数，并且我们接下来会看到，这个 ERM 的 upper bound 是易于优化的。顺便提一句，通过选择其他的 upper bound，我们会导出其他一些常见的算法，例如 Hinge Loss 对应 SVM、exp-loss 对应 Boosting。注意到 log loss 是 convex 的，有时候我们还会加上一个 regularizer：
此时目标函数是 strongly convex 的。接下来我们考虑用 gradient descent 来对目标函数进行优化。首先其 Gradient 是
PS：下图中是各个损失函数，有最原始的0-1损失函数，以及用来在实际情况中作为其upper bound的替代损失函数，如 log loss，hinge loss，exp loss。
