欧拉函数/欧拉定理/扩展欧拉定理

合集 - 算法模板(30)

1.01穷举模板（dfs）01-052.单调栈板子01-103.拓补排序板子（邻接表实现）01-114.堆结构与堆排序01-145.LCS(递归/记忆化/dp）01-186.树状数组板子（单点增加+范围查询）01-207.位运算内容01-248.线段树板子01-259.前缀树板子01-2610.树状数组板子02-1611.数论分块02-1912.ST表模板（RMQ查询）02-2213.扩展欧几里得算法模板02-2314.快速幂模板02-2315.同余式/乘法逆元/费马小引理02-2316.矩阵乘法/矩阵快速幂模板02-2417.分解质因数02-2418.埃氏筛/欧拉筛模板02-24

19.欧拉函数/欧拉定理/扩展欧拉定理02-25

20.拓补排序板子（卡恩算法/02-2521.最短路Djikstra算法板子02-2522.LIS板子（二分优化）02-2523.LCS板子02-2524.SPFA板子02-2625.prim板子02-2726.并查集板子01-0427.Kruskal板子02-2728.线段树板子03-0429.字符串哈希板子03-0930.KMP板子03-09

收起

欧拉定理：

若a与m互质，那么a^phi(m) 与 1 在模m的意义下 同余

其中phi（m）为欧拉函数；
表达式phi（m）=m*（求和）（（pi-1）/pi）（pi为m的因数）

扩展欧拉定理：

用于降幂
当b<phi(m)时 ，a^b 与 a^b 在 模m意义下 同余
当b>=phi(m)时，a^b 与 a^(b mod phi(m) + phi(m)) 在 模m意义下 同余
（b的处理用秦九韶公式）

getphi方法求m的欧拉函数
复杂度O(sqrt(m))

int getphi(int m){
	int res=m;
	for(int i=2;i*i<=m;i++){
		if(m%i==0){
			res=res*(i-1)/i;
			while(m%i==0)m/=i;
		}
	}
	if(m>1){
		res=res*(m-1)/m;
	}
	return res;
}

扩展欧拉定理降幂
复杂度O(b)

int depow(int phi){
	int res=0;
	bool f=false;
	for(int i=0;b[i];i++){
		res=res*10+(b[i]-'0');
		if(res>=phi){
			f=true;
			res%=phi;
		}
	}
	if(f)res+=phi;
	return res;
}