莫比乌斯反演
一些定义
反演：
有两个函数F(n),G(n)，已知$G(n)=\sum\limits a[n][x]*F(x)$,其中n在某些关系上包含x
通过G反过来求F的过程就是反演
数论函数:
数论函数（算术函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数
积性函数：
积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。如φ(n)欧拉函数，μ(n)莫比乌斯函数
狄利克雷乘积（狄利克雷卷积）
如果$f(n),g(n)$是两个数论函数，则它们的狄利克雷乘积也是一个数论函数，简记为$h(n)=f(n)*g(n)$。
$h(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)*g(\frac{n}{d})$或写成$h(n)=\sum\limits_{ab=n}f(a)*g(b)$
莫比乌斯函数μ
当 x能够分解成偶数个不同质数的乘积时，$μ(x)=1$ 如1有0个质因子 则μ(1)=1
当 x能够分解成奇数个不同质数的乘积时，$μ(x)=-1$ 如30=2*3*5 则μ(30)=-1
其他情况时，$μ(x)=0$ 如9=3*3质数因子的次数大于1 则μ(9)=0
性质：
- $\sum\limits_{d\mid n}μ(d)=\begin{equation}\left\{\begin{aligned}1\ \ \ n=1\\0\ \ \ n>1\end{aligned}\right.\end{equation}$
证明:当$n=1$时,显然成立
在$n>1$时,设n有k个质因数,则n的因数中可以分解成i个不同质因子相乘的有$C_k^i$个
$\sum\limits_{d\mid n}μ(d)=\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{i}C_k^i$
我们发现$\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{i}C_k^i=(1-1)^k=0$
证毕
莫比乌斯反演
已知$\Large G(n)=\sum\limits_{d\mid n}F(d)$
则$\Large F(n)=\sum\limits_{d\mid n}μ(d)G(\frac{n}{d})$
证明：
上述式子可以用狄利克雷乘积表示为$G(n)=u(n)*F(n)$其中$u(n)=1$和$F(n)=μ(n)*G(n)$
则只需要证明$F(n)=u(n)*μ(n)*F(n)$即可
设$h(n)=u(n)*μ(n)$则$h(n)=\sum\limits_{d\mid n}μ(d)$
根据莫比乌斯函数的第一个性质
$h(n)=\begin{equation}\left\{\begin{aligned}1\ \ \ n=1\\0\ \ \ n>1\end{aligned}\right.\end{equation}$
$F(n)=h(n)*F(n)=\sum\limits_{ab=n}h(a)F(b)=F(n)$
$h(n)$为狄利克雷乘积的单位元,$u(n),μ(n)$互为在卷积意义下的逆元
应用举例：
现在有$n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$
证明:列出一些分数$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},……,\frac{n}{n}$
设其中某个分数化成最简形式为$\frac{a}{b}$,则$b\mid n,\ a\le b$并且$gcd(a,b)==1$
而且我们发现每个满足条件的$\frac{a}{b}$都能唯一对应一个分数
分母为b的满足条件的分数个数就为$\varphi(b)$
所以$\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n$
要求证明$\sum\limits_{d\mid n}\frac{μ(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$
证明：把$\varphi(n)$当成莫比乌斯反演中的$F(n)$,则$G(n)=n$
根据反演定理$\varphi(n)=\sum\limits_{d\mid n}μ(d)*\frac{n}{d}$
两边同时除以n就为$\sum\limits_{d\mid n}\frac{μ(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$
参考资料：
https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E8%AE%BA%E5%87%BD%E6%95%B0
https://www.cnblogs.com/candy99/p/6204441.html
