容斥原理

定理：

在一个集合中,设$A_i$为集合中具有某个性质的元素的集合,则

$\Large\mid A_1\cup A_2\cup A_3\cup……\cup A_n\mid=\sum\limits_{i=1}^{n}\mid A_i\mid-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^{n}\mid A_i\cap A_j\mid+……+(-1)^n\mid A_1\cap A_2 \cap ……\cap A_n\mid$

证明：

在所求集合中的每个元素对答案的贡献为1

设这个元素被x个$A_i$集合包含，则它对答案贡献为$\sum\limits_{i=1}^x(-1)^{i+1}C_x^i$
我们发现它加上$(1-1)^x$用二项式定理展开后为

$\large\sum\limits_{i=1}^x(-1)^{i+1}C_x^i+\sum\limits_{i=0}^x(-1)^{i}C_x^i=C_x^0=1$

所以$\sum\limits_{i=1}^x(-1)^{i+1}C_x^i=1$
不在所求集合的每个元素对答案的贡献为0(就没出现过,不用证明)
于是答案就为所求集合中元素的个数