关于数论的知识整理——待更新

一.整除

　　性质:

1. 如果$a\mid b$且$b\mid c$,则$a\mid c$
2. 若$a\mid b$且$a\mid c$,则对于任意整数$x,y$有$a\mid (b*x+c*y)$
3. 若$a\mid n,b\mid n$且$gcd(a,b)==1$,则$(a*b)\mid n$
4. 若$a\mid n,b\mid n$,则$(a*b/gcd(a,b))\mid n$     （因为$gcd(a,b/gcd(a,b))==1$）

二.同余

　　性质：

1. 自反性:$a\equiv a(mod\ m)$
2. 对称性:若$a\equiv b(mod\ m)$,则$b\equiv a(mod\ m)$
3. 传递性:若$a\equiv b(mod\ m)$,$b\equiv c(mod\ m)$,则$a\equiv c(mod\ m)$
4. 同加性:若$a\equiv b(mod\ m)$,则$a+c\equiv b+c(mod\ m)$
   若$a\equiv b(mod\ m)$,$c\equiv d(mod\ m)$,则$a+c\equiv b+d(mod\ m)$
5. 同乘性:若$a\equiv b(mod\ m)$,则$a*c\equiv b*c(mod\ m)$
   若$a\equiv b(mod\ m)$,$c\equiv d(mod\ m)$,则$a*c\equiv b*d(mod\ m)$
6. 同幂性:若$a\equiv b(mod\ m)$,则$a^c\equiv b^c(mod\ m)$
7. 若$a\equiv x(mod\ p)$,$a\equiv x(mod\ q)$且$(p,q)$互质,则$a\equiv x(mod\ p*q)$
   　　证明:$a*q\equiv x*q(mod\ p*q)$且$a*p\equiv x*p(mod\ p*q)$
   　　则$a*(q-p)\equiv x*(q-p)(mod\ p*q)$
   　　进一步可以得出$a*(q\%p)\equiv x*(q\%p)(mod\ p*q)$
   　　如此反复取模可以得出$a*(gcd(q,p))\equiv x*(gcd(q,p))(mod\ p*q)$

三.最大公约数

　　求法

1. 辗转相除法:
   原理gcd(a,b)=gcd(a-b,b).(a>b)

   int gcd(int a,int b){
       return b?gcd(b,a%b):a;
   }

2. Stein算法
   思想：
   1. 如果$x==0$,则$gcd(x,y)=y$
   2. 如果$y==0$,则$gcd(x,y)=x$
   3. 如果$x,y$都为偶数,则$gcd(x,y)=2*gcd(x/2,y/2)$
   4. 如果$x$为偶数,$y$为奇数,则$gcd(x,y)=gcd(x/2,y)$
   5. 如果$y$为偶数,$x$为奇数,则$gcd(x,y)=gcd(x,y/2)$
   6. 如果$x,y$都为奇数,则$gcd(x,y)=gcd(x-y,y)$