支配树
何为支配树？
定义：
支配点：在一张图中起点为s，如果有一个点t，使得删去t后没有s到w的路径（不包含w本身），则称t为w的支配点
最近支配点：记最近支配点为idom(w)，下文简称iw。它是所有w的支配点中离w最近的（dfn值最大的,在dfs树中为w的祖先）
半支配点：存在一条t到w的路径，使得路径中除了t和w，其他的点dfn值都比w的大，则t为w的半支配点。
注：所有能直接到w的点都是半支配点
最远半支配点：记最远半支配点为sdom(w），下文简称sw。它是所有w的半支配点中离w最远的（dfn值最小的）
支配树即为一棵根为起点s,其他的点连向它的最近支配点的树。
在原图上删去一个点后，起点和各个点的联通情况=在支配树中删去这个点,起点和各个点的联通情况
（这里联通情况指单向的,及只表示起点是否能到各个节点）
建造方法
声明：
路径P(u,v)表示沿着树边从u走到v中间遇到的点的集合（不包括u,v）。
路径P[u,v]表示沿着树边从u走到v中间遇到的点的集合（包括u,v）。
路径P(u,v],P[u,v)同理。
一些性质（在图的dfs树上）：
1.sw为w的祖先
证明：首先sw的dfn小于w的dfn,否则sdom(sw)也是w的半支配点并且dfn比sw要小。
其次，假设sw不是w祖先且dfn[sw]<dfn[w]，则一定是先搜sw，回溯后才继续搜索的w,但sw可以直接搜索到w,所以假设不成立
2.iw为w的祖先
证明：若iw不为w祖先，则可以直接从dfs树边到w且不经过iw。
3.iw为sw或sw的祖先
证明：假设不是,则iw为sw的后代,但sw可以有至少两条不相交的路径到w,iw只能在其中一条上
4.对于w的祖先v，iw∈P[v,w]或iw∈P[r,iv]
证明：假设不是,则iv到v至少有两条不相交的路径,iw只能在其中一条上，删掉iw从iv依然可以到v，即从s可以到w
idom的确定定理
1、对于w≠r，若∀u∈P(sw,w]均有sw≤su，则iw=sw 。
证明：首先在sw下面没有支配w的点了(若sw支配w,则sw为iw）
然后先说明sw支配了w。任取一条r到w的路径p，设x为路径中最低的不经过sw能到P(sw,w]的点（一定是dfs树中sw的祖先）。
如果不存在这样的x，也就意味着sw一定是路径中的起点，显然有sw支配w。
接着，令y为在P[sw,w]中第一个不受sw支配的点，再取q={x,v1⋯vk,y}（且不经过sw），那么有vi>y。
(若vi<sw则x不是最低的不经过sw能到P(sw,w]的点,vi才是，若sw<vi<y，则y不是p在P[sw,w]中第一个不受sw支配的点,vi才是)
这说明x是y的半支配点，蕴含着sdom(y)≤x，而x<sw，因此sdom(y)<sdom(w)，由条件知不存在这样的x,y。
这就说明了任何一条r到w路径都一定包含了sw 。
2、对于w≠r，取u∈P(sw,w]中sdom最小的u，则su≤sw且iw=iu。
证明：我们可以效仿上面的证明，任取一条r到w的路径p，设x为路径中最低的不经过iu能到P(iu,w]的点（一定是dfs树中sw的祖先）
如果不存在则显然iu已经支配了w；令y为在P[iu,w]中第一个不受iu支配的点，再取q={x,v1⋯vk,y}（且不经过iu），那么有vi>y。
这说明x是y的半支配点，蕴含着sdom(y)≤x，而x<sw，因此sdom(y)<sdom(w)，由条件知不存在这样的x,y。所以iu支配w。
然后取P(iu,w]中任何一点，显然都不支配w。所以iw=iu。
确定sdom
sdom(w)=min{{v∣(v,w)∈E且v<w}∪{sdom (u)∣u>w且存在边(v,w)使u为v或v的祖先}}（根据定义即可得到）
代码实现
#include<cstdio> #define maxn 100005 #define maxm 500005 struct Edge{ int next,to; }edge[maxm],edge_pr[maxm],road[maxn]; int n,m,fi[maxn],se,fi_pr[maxn],se_pr,dfn[maxn],si,a[maxn],fa[maxn],head[maxn],sr; int sdom[maxn],idom[maxn],myfind[maxn],mi_sdom[maxn],son[maxn]; inline void add_edge(int u,int v){//存图的边 edge[++se].next=fi[u],edge[se].to=v,fi[u]=se; } inline void add_edge_pr(int u,int v){//存图的反向边 edge_pr[++se_pr].next=fi_pr[u],edge_pr[se_pr].to=v,fi_pr[u]=se_pr; } inline void add_road(int u,int v){//指向sdom为自己的点 road[++sr].next=head[u],road[sr].to=v,head[u]=sr; } void dfs(int x){//预处理出dfs树 a[dfn[x]=++si]=x; for(int i=fi[x];i;i=edge[i].next){ int v=edge[i].to; if(!dfn[v])dfs(v),fa[v]=x; } } int Find(int x){//带权并查集路径压缩 if(x==myfind[x])return x;//dfn小于正在求的点,返回自己 int y=Find(myfind[x]);//返回祖先中dfn小于正在求的点的最深的点 if(dfn[sdom[mi_sdom[myfind[x]]]]<dfn[sdom[mi_sdom[x]]])mi_sdom[x]=mi_sdom[myfind[x]];//更新dfn大于正在求的点的最小的sdom return myfind[x]=y; } inline void build(){ for(int i=1;i<=n;i++)myfind[i]=sdom[i]=mi_sdom[i]=i; dfs(1); for(int j=si;j>1;j--){//必须按dfs序倒着算 int x=a[j]; for(int i=fi_pr[x];i;i=edge_pr[i].next){//v为能到达x的点 int v=edge_pr[i].to; if(!dfn[v]) continue; Find(v); if(dfn[sdom[mi_sdom[v]]]<dfn[sdom[x]])sdom[x]=sdom[mi_sdom[v]]; //若dfn[v]<dfn[x]则sdom[mi_sdom[v]]==v,否则sdom[mi_sdom[v]]为sdom (u)使得u为v的祖先,于是可求出sdom } add_road(sdom[x],x); myfind[x]=fa[x],x=a[j-1]; for(int i=head[x];i;i=road[i].next){ int v=road[i].to; Find(v);//更新后mi_sdom为v到x路径中sdom最小的点 if(sdom[mi_sdom[v]]==x)idom[v]=x;//v到sdom[v]路径中没有sdom>x的点,则idom[v]=sdom[v]=x; else idom[v]=mi_sdom[v];//否则idom[v]=idom[mi_sdom[v]](路径中sdom最小点的idom) 但idom[mi_sdom[v]]可能还没求出来,所以先记录一下 } } for(int i=2;i<=si;i++){ int x=a[i]; if(idom[x]!=sdom[x])idom[x]=idom[idom[x]];//将idom[v]=idom[mi_sdom[v]]没完成的步骤不上 } } int main(){ int u,v; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0;i<m;i++){ scanf("%d%d",&u,&v),add_edge(u,v),add_edge_pr(v,u); } build();//build后idom就求出来了，然后根据题目进行计算 return 0; }
