（概率论与数理统计-八）几种重要的一维概率分布及其特点

几种重要的一维概率分布及其特点

Content

• 离散型随机变量

1. 退化分布
2. 伯努利分布
3. 二项分布
4. 泊松分布
5. 几何分布
6. 超几何分布

• 连续型随机变量

1. 均匀分布
2. 指数分布
3. 高斯分布

退化分布（Degenerate Distribution）

离散型随机变量

亦称”确定性分布“，”凝聚分布“，”单点分布“，就是整个样本空间只有一个随机变量取值，而且它的概率一定为1.

• 设X表示必然事件c:

  \(P(X=c) = 1\)

伯努利分布（Bernoulli Distribution）

离散型随机变量

亦称“两点分布”，就是整个样本空间只有两种情况，不是其一就是其二.

• 设X表示再一次Bernoulli试验中某事件发生:

  \(P(X=1) = p\)

  \(P(X=0)=1-p\)

二项分布（Binomial Distribution）

离散型随机变量

本质上就是 "n重Bernoulli distribution"，进行了多次的伯努利试验，而每一次都是相互独立的。

设X表示n重Bernoulli试验中某事件发生的次数，X的可能取值有\(0, 1, 2, ..., n\):

\(P(X=k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)

上述情况称为X服从参数为n，p的伯努利分布，记为

\(X\)~\(B(n, p)\)

泊松分布（Poisson Distribution）

离散型随机变量

若X的概率分布律为：

​ \(P(X=k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}，k=0,1,2...\)

其中\(\lambda＞0\)，就称X服从参数为\(\lambda\)的泊松分布

记为 \(X\)~\(\pi(\lambda)\) 或 \(X\)~\(P(\lambda)\)

​ \(P(X=0) + P(X=1) + ... P(X=+∞) = e^{-\lambda}·\sum_{k=0}^{+∞}\frac{\lambda^k}{k!}\)，而根据泰勒展开式可得：\(e^\lambda = \sum_{k=0}^{+∞}\frac{\lambda^k}{k!}\)，所以可知概率之和为1.

• Poisson Distribution 的用途：

  • 某人一天内收到的微信的数量
  • 来到某公共汽车站的乘客
  • 某放射性物质发射出的粒子
  • 显微镜下某区域中的白血球

  如果某事件以固定强度\(\lambda\)，随机且独立地出现，该时间在单位时间内出现的次数（个数）可以看成是服从泊松分布。

• Poisson distribution 与 Binomial distribution 的关系:

  当\(n＞10, p＜0.1\)时，

  \(C_n^kp^k(1-p)^{n-k} ≈ \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\)，其中 \(\lambda = np\)

  即当n很大，p很小时，\(B(n, p) ≈ P(np)\)

几何分布（Geometric Distribution）

离散型随机变量

其实就是进行多次Bernoulli试验直到A事件发生为止

设X为进行试验的次数直到A事件发生，A事件发生的概率为 \(p\)

\(P(X=k) = (1-p)^kp，k=1,2,3,...\)

那称X服从参数为 \(p\) 的几何分布，记为

\(X\) ~ \(Geom(p)\)

举个栗子🌰

假设我们买一种中奖率为1%彩票，每一次中奖的概率都一样，买了k次直到中奖

单独买第k次的中奖概率都比第k-1次要低，但只要次数足够多，买了k次就中奖的概率就是前k次中奖概率的总和，如上图。

超几何分布（Hypergeometric Distribution）

离散型随机变量

待补

均匀分布（Uniform Dsitribution）

连续型随机变量

若 \(X\) 的PDF为 \(f(x)\begin{cases} \frac{1}{b-a}, x\in(a, b) \\0, otherwise \end{cases}\)

就称 \(X\) 服从(a, b)上的Uniform distribution

记为 \(X\)~\(U(a, b)\) 或 \(X\)~\(Unif(a, b)\)

• \(X\)~\(U(a, b)\) 的PDF图

• \(X\)~\(U(a, b)\) 的CDF图

• \(X\)~\(U(a, b)\)的计算
  1. \(P(x\in I) = \int_If(x)dx\)
  2. \(P(x \in I) = \frac{I \bigcap (a, b) 的长度}{(a, b) 的长度}\)

指数分布（Exponential Distribution）

连续型随机变量

若 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} ，x>0\\ 0，x \leq 0\end{cases} (\lambda >0)\)

则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的Exponential distribution

记为 \(X\)~\(E(\lambda)\) 或 \(X\)~\(Exp(\lambda)\)

• 重要性质：\(X\)~\(E(\lambda)\)具有无记忆性

  \(P(X>a|X>b) = P(X>a-b)\)

  

• 指数分布用途

  1. 可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等；
  2. 在排队论中，一个顾客接受服务的时间长短也可以用指数分布来近似；
  3. 无记忆性的现象；

高斯分布（Guassian Distribution / Normal Distribution）

连续型随机变量

若 \(X\) 的PDF为

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, (-\infty < x < \infty)\)

就称 \(X\) 服从参数为 \(\mu, \sigma\) 的高斯分布（或正太分布，或误差分布）

记为 \(X\)~\(N(\mu, \sigma^2)\)

• 两个参数的含义：

  • \(\sigma\)：称为尺度参数，会决定曲线分散程度。当固定 \(\mu\) ， \(\sigma\) 越小，图形越高越瘦，\(\sigma\) 越大，图形越矮越胖。

  • \(\mu\)：称为位置参数，会决定对称轴的位置，当固定 \(\sigma\) ，改变 \(\mu\) 相当于将图像沿 \(x\) 轴平移，图形整体形状不变。

• 正态分布的概率计算：

  若 \(X\)~\(N(\mu, \sigma^2)\)，对实数 \(x\)

  \(P(X \leq x) = F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^xe^{\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}dt}\)

  但积分算不出来，于是我们一般会将其转化为标准正态，然后利用标准正态分布表来求。

  于是用到了以下性质：

  ​ 当\(X\)_{$N(\mu,\sigma^2)$时，$\frac{X-\mu}{\sigma}$}\(N(0,1)\)

  举个栗子🌰

  一批钢材长度(cm) \(X\)~\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu=100\)，\(\sigma=2\)，

  求：

  1. 这批钢材长度小于97.8的概率；
  2. 这批钢材长度落在区间(97.8,103)的概率；

  

• 标准正态分布

  

• 正态分布的用途：

  • 自然界和人类社会中很多现象可以看作正态分布

    • 人的生理尺寸（身高、体重）；
    • 医学检验指标（红细胞数、血小板）；
    • 测量误差；
    • 等等

  • 多个随机变量的和可以用正态分布来近似(中心极限定理)

    • 某位同学完成所有作业的时间；

    • 二项分布

    • 等等