2022-1-26动态规划day2

题1：

931. 下降路径最小和

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

 

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：下面是两条和最小的下降路径，用加粗+斜体标注：
[[2,1,3],      [[2,1,3],
 [6,5,4],       [6,5,4],
 [7,8,9]]       [7,8,9]]

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：下面是一条和最小的下降路径，用加粗+斜体标注：
[[-19,57],
 [-40,-5]]

示例 3：

输入：matrix = [[-48]]
输出：-48

 

提示：

• n == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n <= 100
• -100 <= matrix[i][j] <= 100

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int n=matrix.length;
        int ans=100001;
        for (int i=1;i<n;i++) {
            for (int j=0;j<n;j++) {
                {
                    int max=matrix[i-1][j];
                    if (j>0) max=Math.min(max,matrix[i-1][j-1]);
                    if (j<n-1) max=Math.min(max,matrix[i-1][j+1]);
                    matrix[i][j]+=max;
                }
                //System.out.print(dp[i][j]+" ");
            }
        }
        for (int x:matrix[n-1]){
            ans=Math.min(ans,x);
        }
        return ans;
    }
}

思路：从上往下原地修改数组，只可能从上方，左上以及右上三个方向增加路径，最后结果就是最后一行中最小的。

题2：

300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

 

进阶：

• 你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        int[] dp=new int[n];
        Arrays.fill(dp,1);
        for (int i=1;i<n;i++) {
            for (int j=0;j<i;j++) {
                if (nums[i]>nums[j]) dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        int ans=0;
        for (int x:dp){
            ans=Math.max(x,ans);
        }
        return ans;
    }
}

思路：dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度，对于任意的j<i，如果nums[i]>nums[j]，则可以在此基础上添加nums[i]构成更长的递增子序列，即dp[i]=dp[j]+1 if nums[i]>nums[j]。此外，任意的dp[x]初始值都为1.