Codeforces 696 C. PLEASE
Description
三个杯子,一开始钥匙在中间,每次等概率的选择两边的两个,与中间的交换,问第 次选择中间的杯子是钥匙的概率是多少.
Sol
概率DP.
首先 表示在中间的概率, 表示不再中间的概率.
那么 .
对于 数列,可以解个方程变成等比数列,然后就可以搞出来通项公式了.
那么
就是
主要是最后的那个约分比较难搞..
首先对指数用欧拉定理取膜.
上下通除一个2,在分子上乘3的逆元...
为什么这样做是对的呢...
首先除一个2肯定是没有问题的,因为分子分母都含一个2,现在来证明分子整除3
两个式子时 次方差公式.
当 为奇数时
显然他可以整除3,同时他是个奇数,没有2的因子.
当 为偶数时
那么 可以表示成
所以有
显然他可以整除3,同时他是个奇数,没有2的因子.
这样就完成了证明,所以直接在分子乘3的逆元即可.
Code
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 | #include <cstdio> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; #define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<" " typedef long long LL; const LL p = 1000000007; LL k,x; LL _2n,a,b,f; LL Pow(LL a,LL b,LL res=1){ for (;b;b>>=1,a=a*a%p) if (b&1) res=res*a%p; return res; } int main(){ ios::sync_with_stdio( false ); cin>>k; _2n=1,f=1; for ( int i=1;i<=k;i++){ cin>>x; x=x%(p-1); _2n=(_2n*x)%(p-1); f&=(x&1); } _2n=Pow(2,(_2n-1+p-1)%(p-1)); if (f) f=-1; else f=1; // debug(_2n),debug(f)<<endl; // debug(Pow(3,p-2))<<endl; a=(_2n+f+p)%p*Pow(3,p-2)%p; b=_2n%p; if (!a) cout<< "0/1" <<endl; else cout<<a<< "/" <<b<<endl; return 0; } |
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