Maximal Rectangle

Given a 2D boolean matrix filled with False and True, find the largest rectangle containing all True and return its area.

Example

Given a matrix:

[
  [1, 1, 0, 0, 1],
  [0, 1, 0, 0, 1],
  [0, 0, 1, 1, 1],
  [0, 0, 1, 1, 1],
  [0, 0, 0, 0, 1]
]

return 6.

分析：http://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/24444491

这道题的解法灵感来自于Largest Rectangle in Histogram这道题，假设我们把矩阵沿着某一行切下来，然后把切的行作为底面，将自底面往上的矩阵看成一个直方图（histogram）。直方图的中每个项的高度就是从底面行开始往上1的数量。根据Largest Rectangle in Histogram我们就可以求出当前行作为矩阵下边缘的一个最大矩阵。接下来如果对每一行都做一次Largest Rectangle in Histogram，从其中选出最大的矩阵，那么它就是整个矩阵中面积最大的子矩阵。
算法的基本思路已经出来了，剩下的就是一些节省时间空间的问题了。
我们如何计算某一行为底面时直方图的高度呢？ 如果重新计算，那么每次需要的计算数量就是当前行数乘以列数。然而在这里我们会发现一些动态规划的踪迹，如果我们知道上一行直方图的高度，我们只需要看新加进来的行（底面）上对应的列元素是不是0，如果是，则高度是0，否则则是上一行直方图的高度加1。利用历史信息，我们就可以在线行时间内完成对高度的更新。我们知道，Largest Rectangle in Histogram的算法复杂度是O(n)。所以完成对一行为底边的矩阵求解复杂度是O(n+n)=O(n)。接下来对每一行都做一次，那么算法总时间复杂度是O(m*n)。
空间上，我们只需要保存上一行直方图的高度O(n)，加上Largest Rectangle in Histogram中所使用的空间O(n)，所以总空间复杂度还是O(n)。

class Solution {
    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) return 0;
        int maxArea = 0;
        int[] height = new int[matrix[0].length];
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
                height[j] = matrix[i][j] == '0' ? 0 : height[j] + 1;
            }
            maxArea = Math.max(largestRectangleArea(height), maxArea);
        }
        return maxArea;
    }
    
    public int largestRectangleArea(int[] height) {
      if (height == null || height.length == 0) return 0;
      Stack<Item> items = new Stack<>();
      int maxArea = 0;
      for (int i = 0; i < height.length; i++) {
          if (items.isEmpty() || height[i] >= items.peek().height) {
              items.push(new Item(height[i], i));
          } else {
              Item item = null;
              while ((!items.isEmpty()) && height[i] < items.peek().height) {
                  item = items.pop();
                  maxArea = Math.max(maxArea, (i - item.index) * item.height);
              }
              items.push(new Item(height[i], item.index));
          }
      }
      
      while (!items.isEmpty()) {
          Item item = items.pop();
          maxArea = Math.max(maxArea, (height.length - item.index) * item.height);
      }
      return maxArea;
  }
}

class Item {
  int height;
  int index;
  public Item(int height, int index) {
      this.height = height;
      this.index = index;
  }
}