数学建模模型笔记1

在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数的最大或最小值。

在线性规划模型中，变量限制为整数。

约束条件相互排斥

若有 m 个相互排斥的约束条件 $a_{i1}x_1+\dots+a_{in}x_n\leq b_i,i=1,2,\dots,m$

需使这 m 个条件只有一个起作用，引入 m 个0-1 变量

$y_i = \begin{cases} 1 , \quad 第i个起约束作用 \\ 0 , \quad 第i个不起约束作用 \end{cases}$
再引入一个充分大常数M,使用如下 m+1 个约束条件

$\begin{gather} a_{i1}x_1+\dots+a_{in}x_n\leq b_i+(1-y_i)M,i=1,2,\dots,m \\ y_1 + y_2 + \dots + y_m = 1 \end{gather}$
固定成本

多种方式，每种方式的固定成本不同，单个产品的成本也不同。

目标函数 $min \ z=(k_1y_1+c_1x_!)+(k_2y_2+c_2x_2)+\dots+(k_ny_n+c_nx_n)$

k: 固定成本 y:是否采取此方式{0,1} c: 单个成本 x: 数量

使用约束条件: $y_j\epsilon \leq x_j \leq y_jM$ x大于0，y必为1；x为0，y必为0
指派问题

n 个人做 n 项工作，第 i 个人做第 j 项工作花费 $c_{ij}$ ，使花钱最少。

计算机随机模拟。简而言之，乱取一堆然后找好的。

目标函数或者约束条件包含非线性函数。

已知一系列数据点。插值就是找一个函数经过这些点，拟合就是找一个函数接近这些点。

将问题转化为微分方程的定解问题。

区间估计
经验分布函数

当 n 趋于无穷时，经验分布函数 $F_n(x)$ 以概率1一致收敛于总体分布函数 $F(x)$ 。因此，对于任一实数 x ，当 n 充分大时，经验分布函数的任一个观察值 $F_n(x)$ 与 $F(x)$ 只有微小的差别，从而实际上可以当作 $F(x)$ 使用。
Q-Q图

检验拟合优度的方法。如果拟合效果好，观测数据的经验分布应当十分接近分布模型的理论分布，而经验分布函数的分位数自然也应当与分布模型的理论分位数近似相等。 Q-Q图基于以上观点，将经验分布函数的分位数点和分布模型的理论分位数点作为一对坐标画在坐标图上，如果看起来像一条45°倾角的直线，说明效果很好。

思路是，先列式子建模，在参数估计求参，然后用Q-Q图来检验。
非参数检验
- $\chi^2$ 拟合优度检验
- 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov-Smirnov)检验
  
  以上两者均是假设检验的方法，检验样本的分布函数 $F(x)$ 的正确性。
- 秩和检验
  
  检验两个总体X和Y是否有相同的分布。

非参数 Bootstrap方法

适合小样本对总体F的统计推断。
1. 估计量的标准误差的Bootstrap估计
2. 估计量的均方误差的Bootstrap估计
其实就是根据已有的数据不放回抽样，抽取一堆样本，求出一堆估计量，然后再求。
1. Bootstrap置信区间
其实还是抽一堆样本，求一堆统计量。然后取一个区间，落在里面占百分之多少就是置信度为百分之多少的置信区间。

优点是，不需要假设总体分布的类型，适用于小样本，能用于各种统计量。

以上的方法没有假设总体的分布函数F的形式。
参数Bootstrap方法

针对总体分布函数 $F(x;\beta)$ 的形式已知， $\beta$ 是未知参数。

其实就是先求一个最大似然估计，然后把求出的估计量代回去，再抽一堆样，求一堆 $\beta$ ，然后得到一个Bootstrap置信区间。