01背包、完全背包、多重背包

参考（都有些错误）：
https://github.com/guanjunjian/Interview-Summary/blob/master/notes/algorithms/%E7%BB%8F%E5%85%B8%E7%AE%97%E6%B3%95/01%E8%83%8C%E5%8C%85.md
https://blog.csdn.net/na_beginning/article/details/62884939

 

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

/*
01背包问题 每个物品仅一个
状态转移公式:F[i][j] = F[i - 1][j] 和 F[i - 1][j - W[i]] + V[i] 大的那个值
C背包总重量
W每个物品重量
V每个物品价值
n物品总数
inp具有最大价值时，标记哪个物品在包中
返回最大价值
*/
int packages(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp)
{
    vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值
    
    for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            F[i][j] = 0;
    }
    for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行
        F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : V[0];//可用重量j大于物品重量，则装入该物品，加上该物品价值

    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)
        {
            if (j < W[i])
                F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品
            else
                F[i][j] = (F[i - 1][j] < F[i - 1][j - W[i]] + V[i]) ? F[i - 1][j - W[i]] + V[i] : F[i - 1][j];//可装下该物品。状态转移方程
        }
    }
    int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值
                                           
    //inp标记哪些物品在包中
    int j = C;
    for (int i = n-1; i >0 ; i--)//i不可为0，否则F[i-1]越界
    {
        if (j>W[i] && F[i][j] == F[i - 1][j - W[i]] + V[i])//注意需要j>W[i]
        {
            inp[i] = 1;
            j -= W[i];
        }
    }
    if (F[0][j] > 0)//如果背包还可装下，则包含第一个物品
        inp[0] = 1;

    //输出动态规划数组
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            cout << F[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }

    return result;
}

/*
01背包问题 滚动数组优化动态规划的空间
原空间OnC，先空间O2C，但是无法输出有哪些物品在包中
*/
int packages_good(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n)
{
    vector<vector<int> > F(2, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值

    for (int i = 0; i < 2; i++)//初始化表格
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            F[i][j] = 0;
    }
    for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行
        F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : V[0];//可用重量j大于物品重量，则装入该物品，加上该物品价值

    int k = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        k = i & 1;//滚动
        for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)
        {
            if (j < W[i])
                F[k][j] = F[k ^ 1][j];//装不下该物品
            else
                F[k][j] = (F[k ^ 1][j] < F[k ^ 1][j - W[i]] + V[i]) ? F[k ^ 1][j - W[i]] + V[i] : F[k ^ 1][j];//可装下该物品
        }
    }
    return F[k][F[0].size() - 1];//最大价值
}

/*
完全背包 每个物品不限制数量
状态转移公式:F[i][j] = F[i - 1][j] 和 F[i][j - W[i]] + V[i] 大的那个值，标记哪些物品在包中也改变
注意是F[i][j - W[i]] + V[i]
也可优化空间
*/
int packages_full(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp)
{
    vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值

    for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            F[i][j] = 0;
    }
    for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行
        F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : ((j/W[0])*V[0]);//每个物品不止一个

    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)
        {
            if (j < W[i])
                F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品
            else
                F[i][j] = (F[i - 1][j] < F[i][j - W[i]] + V[i]) ? F[i][j - W[i]] + V[i] : F[i - 1][j];//可装下该物品。状态转移方程
        }
    }
    int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值

    //inp标记哪些物品在包中
    int j = C;
    int i = n - 1;
    while (i)
    {
        while(j && j > W[i] && F[i][j] == F[i][j - W[i]] + V[i]) //如果包含该物品，则一直循环看包含几个该物品
        {
            inp[i]++;
            j -= W[i];
        }
        i--;//不包含该物品，则跳到下一个物品
    }

    //输出动态规划数组
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            cout << F[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }

    return result;
}

/*
多重背包 每个物品有数量限制
*/
int packages_multi(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp, vector<int> &N)//N会被修改
{
    vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值

    for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            F[i][j] = 0;
    }
    for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行,每个物品有对应数量N限制
    {
        int count = (N[0] > j / W[0]) ? j / W[0] : N[0];//可用空间为j时，可以放多少个当前物品，min{可放入数量,物品数量}
        F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : (count*V[0]);
    }

    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)
        {
            if (j < W[i])
                F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品
            else
            {
                int count = (N[i] > j / W[i]) ? j / W[i] : N[i];
                F[i][j] = F[i - 1][j];//不放当前物品
                for (int k = 1; k <= count; k++)//看放入多少个当前物品可以让F[i][j]最大
                {
                    int tmp = F[i - 1][j - k * W[i]] + k * V[i];//放入k个当前物品
                    if (tmp > F[i][j])
                        F[i][j] = tmp;
                }
            }
        }
    }
    int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值
    cout << result << endl;

    //inp标记哪些物品在包中
    int j = C;
    int i = n - 1;
    while (i)
    {
        while (j && N[i] && j > W[i] && F[i][j] == F[i][j - W[i]] + V[i]) //如果包含该物品，则一直循环看包含几个该物品
        {
            inp[i]++;
            j -= W[i];
            --N[i];
        }
        i--;//不包含该物品，则跳到下一个物品
    }

    //输出动态规划数组
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)
            cout << F[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }

    return result;
}

int main() {
    vector<int> W{ 4,5,6,2,2 };
    vector<int> V{ 6,4,5,3,6 };
    int C = 9;
    int n = W.size();
    vector<int> inp(n, 0);//标记是否在包中
    cout << "1、01背包最大总价值：" << packages(C, W, V, n, inp) << endl;
    cout << "在背包中的物品编号： ";
    for (int i = 0; i < inp.size(); i++)
    {
        if (inp[i] == 1)
            cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    cout << "2、01背包滚动数组优化最大总价值，无法输出有哪些物品在背包中：" << packages_good(C, W, V, n) << endl;

    cout << endl;
    vector<int> inp1(n, 0);//标记是否在包中
    cout << "3、完全背包最大总价值：" << packages_full(C, W, V, n, inp1) << endl;
    cout << "输出在背包中物品： ";
    for (int i = 0; i < inp1.size(); i++)
    {
        cout << inp1[i] << " ";
    }
    cout << endl;
        
    cout << endl;
    vector<int> N{ 1,2,2,2,4 };//每个物品数量
    vector<int> inp2(n, 0);//标记是否在包中
    cout << "4、多重背包最大总价值：" << packages_multi(C, W, V, n, inp2, N) << endl;
    cout << "输出在背包中物品： ";
    for (int i = 0; i < inp2.size(); i++)
    {
        cout << inp2[i] << " ";
    }
    cout << endl;


    return 0;
}