中南民族大学软工算法考试
#2019年软工算法考试
整理：北忘山
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估计题目范围：期中+习题
####首先是期中考试题目：
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####还有不知道哪里来的重点
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###非递归分析的五步骤
（1）决定用哪个（哪些）参数表示输入规模
（2）找出算法的基本操作
（3）检查基本操作的执行次数是否只依赖于输入规模，如果它还依赖于一些其他的特性，则最差效率，平均效率以及最优效率需要分别研究
（4）建立一个算法基本操作执行次数的求和表达式
（5）利用求和运算的标准公式和法则来建立一个操作次数的闭合公式，或者至少确定它的增长次数。
###递归分析的五个步骤
（1）决定用哪个（哪些）参数表示输入规模的度量标准
（2）找出算法的基本操作
（3）检查一下，对于相同的规模的不同输入，基本操作的执行次数是否可能不同。如果有这种可能，则必须对最差效率、平均效率以及最优效率做单独研究
（4）对于算法基本操作的执行次数，建立一个递推关系以及相应的初始条件。
（5）解这个递推式，或者至少确定它的解的增长次数。
##计算a 的 n次方及时间T（n）O(nlogn)
###//蛮力法求a的n次方
int Power1(int a,int n)
{
int ans=1;
for(int i=0;i<n;i++)
ans*=a;
return ans;
}
###//分治法求a的n次方
int Power2(int a,int n)
{
int ans=1;
if (n==0) ans=1;
else if(n==1) ans=a;
else
ans=Power2(a,n/2)*Power2(a,(n+1)/2);
return ans;
}
###//减治法求a的n次方
int Power3(int a,int n)
{
int ans=1;
if (n==0) ans=1;
else if(n==1) ans=a;
else
{
ans=Power3(a,n/2);
if(n%2==0)
ans=ans*ans;//当n为偶数
else
ans=ans*ans*a;//当n为奇数
}
return ans;
}
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###汉诺塔问题
####解法
解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔，A塔有N块盘，目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔，再把A塔剩下的大盘移到C，最后把B塔的N-1块盘移到C。 每次移动多于一块盘时，则再次使用上述算法来移动。
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####程序源码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
char x,y,z;
void mov(int n,char a,char c,char b)
{
if(n==0) return;
mov(n-1,a,b,c);
cout<<a<<"-->"<<n<<"-->"<<c<<endl;
mov(n-1,b,c,a);
}
int main()
{
cin>>n;
cin>>x>>y>>z;
mov(n,x,y,z);
return 0;
}
###螺钉螺母的匹配问题 （快速排序的变形）nlogn
####算法分析
螺母我就用nut表示，螺钉我就用bolt表示。
我是假设只有唯一一个匹配的，即nut数组与bolt一一对应。否则算法还需要有更大的更改。
1.在nut数组拿一个，可以把bolt数组分为比那个小的，比那个大的，还有一个匹配的3个部分。
2.在bolt中小的那堆那一个可以把nut分成比那个小的，比那个大的，还有一个匹配的3个部分。
3.这样可以发现，现在数组产生两对比配的螺母和螺钉和一队小的螺钉和螺母，一队大的螺钉和螺母。
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令数组内部的排列也是这样。一次调用后前两个是匹配的螺母和螺钉。后面给一个坐标，左边是小的，右边是较大的。
这样对较小的螺母和螺钉再调用一个次函数，即又可以产生两对匹配，和较小小和较大大的
####代码实现
//分类函数
//n和b为两个数组
//left为左索引，right为右索引
void Fix(int *n, int *b, int left, int right)
{
if (left < right)
{
int tmp = n[left];
int i = left, j = right;
while (i < j)
{
while (i < j&&b[i] < tmp)
{
i++;
}
while (i < j&&b[j] > tmp)
{
j--;
}
if (i < j)
{
swap(b[i], b[j]);
}
}
b[i] = tmp;
swap(b[left], b[i]);
cout << "n+b:" << endl; Print(n); Print(b); cout << endl;
//一趟下来，i=j的tmp的位置。以tmp为界限，左右分别是小于和大于它的元素
tmp = b[left + 1];
i = left + 1, j = right;
while (i < j)
{
while (i < j&&n[i] < tmp)
{
i++;
}
while (i < j&&n[j] > tmp)
{
j--;
}
if (i < j)
{
swap(n[i], n[j]);
}
}
n[i] = tmp;
swap(n[left + 1], n[i]);
cout << "n+b:" << endl; Print(n); Print(b); cout << endl;
Fix(n, b, left + 2, i);
Fix(n, b, i + 1, right);
}
}
###两个数组的公共元素问题
时间复杂度是 O(maxn(m,n))
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int elements(int a[],int b[],int c[],int sizea,int sizeb)
{
//a 和 b分别是两个比较数组
//c是用来存放公共元素的数组
//sizea sizeb 则是两个数组的大小
//在这个地方可以用：a.length表示，而不用传入数组的大小
int pa=0; //指向a数组的指针
int pb=0; //指向b数组的指针
int count=0; //统计数量
while(pa<sizea && pb<sizeb) //进入的必要条件
{
if (a[pa]>b[pb])
pb++;
else if(a[pa]<b[pb])
pa++;
else
{ c[count++]=a[pa];
pa++;
pb++;
}
}
return (count);
}
int main(void)
{
int a[]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int b[]={4,5,6};
int c[10];
int i,count;
count = elements( a,b,c ,9,3);
printf("相同的元素的个数是：%d\n",count);
for(i=0;i<count;i++)
printf("%4d\n",c[i]);
system("pause");
return 0;
}
##最小生成树-Prim算法
普里姆算法（Prim算法）
####算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
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####简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
####代码
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff
int graph[MAX][MAX];
int prim(int graph[][MAX], int n)
{
int lowcost[MAX];//i-max的距离
int mst[MAX];//表示i的起点是谁
int i, j, min, minid, sum = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
lowcost[i] = graph[1][i];
mst[i] = 1;
}//默认起点是1
mst[1] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
min = MAXCOST;
minid = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
{
min = lowcost[j];
minid = j;
}
}//找出距离1最近的点
cout << "V" << mst[minid] << "-V" << minid << "=" << min << endl;
sum += min;
lowcost[minid] = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (graph[minid][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = graph[minid][j];
mst[j] = minid;
}
}//相当于利用mind作为新的起点来更新lowcost[];
}
return sum;
}
int main()
{
int i, j, k, m, n;
int x, y, cost;
cin >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数
//初始化图G
for (i = 1; i <= m; i++)
{
for (j = 1; j <= m; j++)
{
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
//构建图G
for (k = 1; k <= n; k++)
{
cin >> i >> j >> cost;
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}
//求解最小生成树
cost = prim(graph, m);
//输出最小权值和
cout << "最小权值和=" << cost << endl;
return 0;
}
####实例输入
6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
####实例输出
V1-V3=1
V3-V6=4
V6-V4=2
V3-V2=5
V2-V5=3
最小权值和=15
###warshall算法 最短路径
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####定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
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####代码
#include <stdio.h>
int main()
{
int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
//读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=inf;
//读入边
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
//Floyd-Warshall算法核心语句
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
//输出最终的结果
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
printf("%10d",e[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
###主定理的运用
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-harG2NZU-1578581536973)(./1578576929018.png)]
###增长次数比较
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-gmqmADsQ-1578581536976)(./1578577477553.png)]
###递归斐波那契
public static long method(int n) {
if(n<2) {
return 1;
}else {
long a=method(n-1) + method(n-2);
return a;
}
}
###非递归斐波那契
private static int method2(int n) {
// TODO Auto-generated method stub
//a,b,c
int a=1;
int b=1;
int c = 0;
for(int i=1;i<n;i++) {
c=a+b;
a=b;
b=c;
}
return c;
}
###Floyd算法
#include
int main()
{
int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
//读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=inf;
//读入边
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
//Floyd-Warshall算法核心语句
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
//输出最终的结果
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
printf("%10d",e[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
###排序算法
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####冒泡排序(BubbleSort)
####基本思想：
两个数比较大小，较大的数下沉，较小的数冒起来。
####过程：
比较相邻的两个数据，如果第二个数小，就交换位置。
从后向前两两比较，一直到比较最前两个数据。最终最小数被交换到起始的位置，这样第一个最小数的位置就排好了。
继续重复上述过程，依次将第2.3…n-1个最小数排好位置。
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冒泡排序 平均时间复杂度：O(n2)
public static void BubbleSort(int [] arr){
int temp;//临时变量
for(int i=0; i<arr.length-1; i++){ //表示趟数，一共arr.length-1次。
for(int j=arr.length-1; j>i; j--){
if(arr[j] < arr[j-1]){
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j-1];
arr[j-1] = temp;
}
}
}
}
####选择排序(SelctionSort)
####基本思想：
在长度为N的无序数组中，第一次遍历n-1个数，找到最小的数值与第一个元素交换；
第二次遍历n-2个数，找到最小的数值与第二个元素交换；
。。。
第n-1次遍历，找到最小的数值与第n-1个元素交换，排序完成。
####过程：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FC8ESCXf-1578581536979)(./1578579712012.png)]
选择排序 平均时间复杂度：O(n2)
public static void select_sort(int array[],int lenth){
for(int i=0;i<lenth-1;i++){
int minIndex = i;
for(int j=i+1;j<lenth;j++){
if(array[j]<array[minIndex]){
minIndex = j;
}
}
if(minIndex != i){
int temp = array[i];
array[i] = array[minIndex];
array[minIndex] = temp;
}
}
}
####插入排序(Insertion Sort)
####基本思想：
在要排序的一组数中，假定前n-1个数已经排好序，现在将第n个数插到前面的有序数列中，使得这n个数也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。
####过程：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VHHpo9WR-1578581536980)(./1578579783948.png)]
插入排序
平均时间复杂度：O(n2)
public static void insert_sort(int array[],int lenth){
int temp;
for(int i=0;i<lenth-1;i++){
for(int j=i+1;j>0;j--){
if(array[j] < array[j-1]){
temp = array[j-1];
array[j-1] = array[j];
array[j] = temp;
}else{ //不需要交换
break;
}
}
}
}
####快速排序(Quicksort)
####基本思想：（分治）
先从数列中取出一个数作为key值；
将比这个数小的数全部放在它的左边，大于或等于它的数全部放在它的右边；
对左右两个小数列重复第二步，直至各区间只有1个数。
####辅助理解：挖坑填数
初始时 i = 0; j = 9; key=72
由于已经将a[0]中的数保存到key中，可以理解成在数组a[0]上挖了个坑，可以将其它数据填充到这来。
从j开始向前找一个比key小的数。当j=8，符合条件，a[0] = a[8] ; i++ ; 将a[8]挖出再填到上一个坑a[0]中。
这样一个坑a[0]就被搞定了，但又形成了一个新坑a[8]，这怎么办了？简单，再找数字来填a[8]这个坑。
这次从i开始向后找一个大于key的数，当i=3，符合条件，a[8] = a[3] ; j-- ; 将a[3]挖出再填到上一个坑中。
数组：72 - 6 - 57 - 88 - 60 - 42 - 83 - 73 - 48 - 85
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
此时 i = 3; j = 7; key=72
再重复上面的步骤，先从后向前找，再从前向后找。
从j开始向前找，当j=5，符合条件，将a[5]挖出填到上一个坑中，a[3] = a[5]; i++;
从i开始向后找，当i=5时，由于i==j退出。
此时，i = j = 5，而a[5]刚好又是上次挖的坑，因此将key填入a[5]。
数组：48 - 6 - 57 - 88 - 60 - 42 - 83 - 73 - 88 - 85
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
可以看出a[5]前面的数字都小于它，a[5]后面的数字都大于它。因此再对a[0…4]和a[6…9]这二个子区间重复上述步骤就可以了。
<数组：48 - 6 - 57 - 42 - 60 - 72 - 83 - 73 - 88 - 85
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
平均时间复杂度：O(N*logN)
public static void quickSort(int a[],int l,int r){
if(l>=r)
return;
int i = l; int j = r; int key = a[l];//选择第一个数为key
while(i<j){
while(i<j && a[j]>=key)//从右向左找第一个小于key的值
j--;
if(i<j){
a[i] = a[j];
i++;
}
while(i<j && a[i]<key)//从左向右找第一个大于key的值
i++;
if(i<j){
a[j] = a[i];
j--;
}
}
//i == j
a[i] = key;
quickSort(a, l, i-1);//递归调用
quickSort(a, i+1, r);//递归调用
}
###利用选择排序 E,X,A,M,P,L,E ``` import java.util.Arrays;
public class T {
public static void main(String[] args) {
char[] a = { ‘e’, ‘x’, ‘a’, ‘m’, ‘p’, ‘l’, ‘e’ };
quickSort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
private static void quickSort(char[] a) {
quickSort(a, 0, a.length - 1);
}
private static void quickSort(char[] a, int low, int high) {
if (low < high) {
int pivotPosition = partition(a, low, high);
quickSort(a, low, pivotPosition - 1);
quickSort(a, pivotPosition + 1, high);
}
}
private static int partition(char[] a, int low, int high) {
char pivot = a[low];
while (low < high) {
while (low < high && a[high] >= pivot) {
high–;
}
if (low < high) {
a[low] = a[high];
low++;
}
while (low < high && a[low] <= pivot) {
low++;
}
if (low < high) {
a[high] = a[low];
high–;
}
}
a[low] = pivot;
return low;
}
}
###冒泡排序
#include <stdio.h>
#define NUM 5
void arrsort(int[],int);
void arrout(int[],int);
main(){
int a[NUM]={16,25,9,90,23};
arrout(a,NUM);//输出a数组中原始数据
arrsort(a,NUM);//对a数组中的数进行排序
arrout(a,NUM);//输出排序后a数组中的数据
}
void arrsort(int a[],int n){
for(int i=0;i<n-1;i++){
for(int j=0;j<n-1-i;j++){
if(a[j]>a[j+1]){
int temp =a[j+1];
a[j+1] = a[j];
a[j] = temp;
}
}
}
}
void arrout(int a[],int n){
int i;
for(i=0;i<n;i++){
printf("%3d",a[i]);
}
printf("\n");
}
<br>
###背包问题
[动态规划](https://www.cnblogs.com/yun-an/p/11037618.html)
[贪心算法](https://blog.csdn.net/practical_sharp/article/details/102257213)
###估计题目
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