信息的表示和处理之整数表示

整数表示

图2-3列出了我们引入的数学术语，用于精确定义和描述计算机如何编码和操作整数：

图2-3   整数的数据与算数操作术语。下表w表示数据的位数

整型数据类型

C语言支持多种整型数据类型——表示有限范围整数，如图2-4和2-5所示：

图2-4   32位程序上C语言整型数据类型的典型取值范围

图2-5   64位程序上C语言整型数据类型的典型取值范围

图2-4和2-5中一个值得注意的点是取值范围不是对称的，负数的范围比整数多1。C语言标准定义了每种数据类型必须能够表示的最小的取值范围，如图2-6所示：

图2-6   C语言的整型数据类型保证的取值范围

图2-6的取值范围相比图2-4和2-5的典型实现一样，或者更小些。除了固定大小的数据类型是例外，我们看到他们只要求正数和负数的取值范围是对称的。此外，数据类型int可以用2个字节的数字来实现，这几乎回退到16位机器的时代。还可以看到，long的大小可以用4个字节的数字来实现，对32位程序来说这是很典型的。固定大小的数据类型保证数值的范围与图2-4给出的典型数值一致，包括负数与正数的不对称性。

无符号数的编码

假设一个整数数据类型有w位，我们可以将位向量写成，表示整个向量，或者写成[x_w-1,x_w-2,……,x₀]，表示向量中的每一位。把看做一个二进制表示的数，就获得了的无符号表示。在这个编码中，每个位x_i都取值为0或1，后一种取值意味着数值2ⁱ应为数字值的一部分。我们用一个函数B2U_w（Binary to Unsigned的缩写，长度为w）来表示：

符号“”表示左边被定义为等于右边。函数B2U_w将一个长度为w的0、1串映射到非负整数。举个栗子，图2-6展示的是下面几种情况下B2U给出的从位向量到整数的映射：

在图2-7中，我们使用长度为2ⁱ的指向右侧箭头的条来表示每个位的位置i。每个位向量对应的数值就等于所有值为1的位对应的条的长度之和。

 

图2-7   w=4的无符号数示例。当二进制表示中位i为1，数值就会相应加上2ⁱ

让我们来考虑下w位所能表示的值的范围。最小值是用位向量[00……0]表示，也就是整数值0，而最大值是用位向量[11……1]表示，也就是整数值。以4位情况为例，UMax₄=B2U₄([1111])=2⁴-1=15。因此，函数B2U_w能够被定义为一个映射B2U_w：{0,1}^w→{0,……,2^w-1}。

无符号数的二进制表示有一个很重要的属性，每个介于0~2^w-1之间的数都有唯一一个w位的值编码。例如，十进制11作为无符号数，只有一个4位的表示，即[1011]。

原理：无符号数编码的唯一性。

函数B2U_w是一个双射。

数学术语双射是指一个函数f有两面：它将数值x映射为数值y，即y=f(x)，但它也可以反向操作，因为对每个y而言，都有唯一一个数值x使得f(x)=y。这可以用反函数f^-1表示，即x=f^-1(y)。函数B2U_w将每一个长度为w的位向量都映射为0~2^w-1之间的一个唯一值；反过来，我们称其为U2B_w（即“无符号数到二进制”），在0~2^w-1之间的每一个整数都可以映射为一个唯一的长度为w的位模式。

补码编码

对于许多应用，我们还希望表示负值。最常见的有符号数的计算机表示方式为补码形式。我们用函数B2T_w（Binary to Two's-complement的缩写，长度为w）来表示：

原理：补码编码的定义：

最高有效位x_w-1也称为符号位，它的“权重”为-2^w-1，是无符号表示中权重的负数。当符号位被置位1时，表示值为负。这里来看一个示例，图2-8展示的是下面几种情况下B2T给出的从位向量到整数的映射。

我们可以看到，图2-7和2-8中位模式一样，对等式（2.2）和等式（2.4）来说也是一样，但是当最高有效位是1时，数值是不同的，这是因为在一种情况中，最高有效位的权重是+8，而另一种情况是-8。

图2-8   w=4的补码示例。把位3作为符号位，因此当它为1时，对数值的影响是-2³=-8。这个权重在图中用带向左箭头的条来表示。

让我们来考虑下w位补码所能表示的范围，最小值为[10……0]，也就是设置这个值为负权，但是清除其他所有位，其整数值为。而最大值是位向量[01……1]，清除具有负权的位，而设置其他所有的位，其整数值为。以长度为4为例，我们有TMin₄=B2T₄([1000])=-2³=-8，而TMax₄=B2T₄([0111])=2²+2¹+2⁰=4+2+1=7。

我们可以看出B2T_w是一个从长度为w的位模式到TMin_w和TMax_w之间数字的映射：写作B2T_w：{0,1}^w→{TMin_w,……,TMax_w}。同无符号表示一样，在可表示的取值范围内的每个数字都有一个唯一的w位的补码编码。这就导出了无符号数相似的补码数原理：

原理：补码编码的唯一性

函数B2T_w是一个双射。

我们定义函数T2B_w（即“补码到二进制”）作为B2T_w的反函数。也就是说，对于每个数x，满足TMin_w<=x<=TMax_w，则T2B_w(x)是x的（唯一的）w位模式。

为了更好的理解补码的表示，我们考虑下面的代码：

#include <stdio.h>

typedef unsigned char *byte_pointer;

void show_bytes(byte_pointer start, size_t len) {
    size_t i;
    for (i = 0; i < len; i++)
                printf(" %.2x", start[i]); 
    printf("\n");
}

int main(int argc, char *argv[])
{
        short x  = 12345;
		short mx = -x;
		show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(short));
        show_bytes((byte_pointer)&mx, sizeof(short));
		return 0;
}

 

当在大端法机器上运行时，这段代码的输出为30 39和cf c7，x的十六进制表示为0x3039，而mx的十六进制表示为0xCFC7。将它们展开为二进制，我们得到x的位模式为[0011 0000  0011 1001]，而mx的位模式为[1100 1111 1100 0111]。如图2-9所示，等式（2.3）对这两个位模式生成的值为12345和-12345。

图2-9   12345和-12345的补码表示，以及53191的无符号表示。

有符号数和无符号数之间的转换

C语言允许在各种不同的数字数据类型之间做强制类型转换。假设变量x声明为int，u声明为unsigned。表达式（unsigned）x会将x的值转换成一个无符号数值，而(int)u将u的值转换成一个有符号整数。将有符号整数强制类型转换成无符号数，或者反过来，会得到什么样的结果？从数学的角度来说，可以想象到几种不同的规则。很明显，对于在两种形式都能表示的值，我们希望能保持不变。另一方面，将负数转成无符号数可能得到0。如果转换的无符号数太大以至于超过了补码能够表示的范围，可能会得到TMax。不过，对于大多数C语言的实现来说，对于这个问题的回答都是从位级角度来看，而不是数的角度。

比如说，考虑下面的代码：

#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[])
{
	short int v = -12345;
	unsigned short uv = (unsigned short) v;
	printf("v = %d, uv = %u\n", v, uv);
	return 0;
}

　　

在一台采用补码的机器上，上述代码会产生如下输出：v = -12345, uv = 53191。我们看到，强制类型转换的结果保持位值不变，只是改变了解释这些位的方式。在图2-9中我们看到过，-12 345的16位补码表示与53 191的16位无符号表示完全一样。将short强制类型转换为unsigned short改变数值，但是不改变位表示。

类似地，考虑下面的代码：

#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[])
{
	unsigned u = 4294967295u;
	int tu = (int) u;
	printf("u = %u, tu = %d\n", u, tu);
	return 0;
}

　　

在一台采用补码的机器上，上述代码会产生如下输出：

u = 4294967295, tu = -1

　　

对于32位字长来说，无符号形式的4294967295（UMax₃₂）和补码形式的-1的位模式完全一样。将unsigned强制类型转换为int，底层的位表示保持不变。

对于大多数C语言实现，处理同样字长的有符号数和无符号数之间相互转换的一般规则是：数值可能会改变，位模式不变。我们定义U2B_w和T2B_w，它们将数值映射为无符号数和补码形式的位表示。也就是说，给出0<=x<=UMax_w范围内的一个整数x，函数U2B_w(x)会给出x的唯一的w位无符号表示。相似地，当x满足TMin_w<=x<=TMax_w，函数T2B_w(x)会给出x的唯一的w位补码表示。

现在，将函数T2U_w定义为。这个函数的输入是一个TMin_w~TMax_w的数，结果得到一个0~UMax_w的值，这里两个数有相同的位模式，除了参数是无符号的，而结果是以补码表示的。类似的，对于0~UMax_w之间的值x，定义函数U2T_w为。生成一个数的无符号数表示和x的补码表示相同。

从图2-9中，我们看到T2U₁₆(-12 345)=53 191，并且U2T₁₆(53 191)=-12 345。也就是说，十六进制表示写作0xCFC7的16位位模式即是-12 345的补码表示，又是53 191的无符号表示。同时请注意，12 345+53 191=65 536=2¹⁶。这个属性可以推广到给定位模式的两个数值（补码和无符号数）之间的关系。类似地，从图2-10我们看到T2U₃₂(-1)=4 294 967 295，并且U2T₃₂(4 294 967 295)=-1。也就是说，无符号表示中的UMax有着和补码表示的-1相同的位模式。我们将在这两个数之间也能看到这种关系1+UMax_w=2^w。

图2-10   重要的数字。图中给出了数值和十六进制表示

原理：补码转换为无符号数

对于满足TMin_w<=x<=TMax_w的x有：

比如，我们看到的T2U₁₆(-12 345)=-12 345+2¹⁶=53 191，同时T2U_w(-1)=-1+2^w=UMax_w。该属性可通过公式（2.1）和（2.3）推导出来。

推导：补码转换为无符号数

比较等式（2.1）和等式（2.3），我们可以发现对于位模式，如果我们计算之差，从0到w-2的位的加权和将互相抵消掉，剩下一个值：，这就得到一个关系：。我们因此有：

根据公式（2.5）的两种情况，在x的补码表示中，位x_w-1决定了x是否为负。

比如说，图2-11比较了当w=4时函数B2U和B2T是如何将数值变成位模式的。对补码来说，最高有效位是符号位，我们用向左箭头的条来表示。对于无符号数来说，最高有效位是正权重，我们用向右箭头表示。从补码变为无符号数，最高有效位的权重从+8变为-8。因此，补码表示的负数如果看成无符号数，值会增加2⁴=16。因而-5变成11，而-1变成+15。

图2-11   比较当w=4时无符号表示和补码表示

图2-12说明了函数T2U的一般行为。如图所示，当将一个有符号数映射为它相应的无符号数时，负数就会被转成大的正数，而非负数则保持不变。

图2-12   从补码到无符号数的转换。函数T2U将负数转为较大的正数

原理：无符号数转换为补码

对于满足0<=u<=UMax_w的u有：

该原理证明如下：

推导：无符号数转换为补码

设，这个位向量也是U2T_w(u)的补码表示。公式（2.1）和（2.3）结合起来有

在u的无符号表示中，对公式（2.7）的两种情况来说，位u_w-1决定了u是否大于TMax_w=2^w-1-1。

图2-13说明了函数U2T的行为。对于小的数（<=TMax_w），从无符号到有符号的转换将保留数字的原值。对于大的数（TMax_w），数字将转为一个负值。

图2-13   从无符号数到补码的转换。函数U2T把大于2^w-1-1的数字转换为负值

总结一下，我们考虑无符号与补码表示之间互相转换的结果。对于范围在0<=x<=TMax_w之内的值，我们得到T2U_w(x)=x和U2T_w(x)=x。也就是说，这个范围内的数字有相同的无符号和补码表示。对于这个范围以外的数值，转换需要加上或减去2^w。例如，我们有T2U_w(-1)=-1+2^w=UMax_w，——最靠近0的负数映射为最大的无符号数。在另一个极端，我们可以看到T2U_w(TMin_w)=-2^w-1+2^w=2^w-1=TMax_w+1——最小的负数映射为一个刚好在补码的正数范围之外的无符号数。使用图2-9为例，我们可以看到T2U₁₆(-12 345)=65 536-12 345=53 191。

C语言的有符号数和无符号数

C语言支持所有整型数据类型的有符号和无符号运算，尽管C语言标准没有指定有符号数要采用某种表示，但几乎所有机器都使用补码。通常，大多数数字都默认是有符号的。要创建一个无符号常量，必须加上后缀字符'U'或'u'，例如，12345U或0x1A2Bu。C语言允许无符号数和有符号数之间的转换，虽然C标准没有精确规定应如何进行转换，但大多数系统遵循的原则是底层的位保持不变。因此，在一台采用补码的机器上，当从无符号数转换为有符号数时，效果就是应用函数U2T_w， 而从有符号数转换为无符号数时，就是应用函数T2U_w，其中w表示数据类型的位数。

显示的强制类型转换就会导致转换发生，如下面的代码：

int tx, ty;
unsigned ux, uy;
tx = (int) ux;
uy = (unsigned) ty;

　　

另外，当一种类型的表达式被赋值给另外一种类型的变量时，转换是隐式发生的，就像下面的代码：

int tx, ty;
unsigned ux, uy;

tx = ux;	/* Cast to signed */
uy = ty; 	/* Cast to unsigned */

　　

当用printf输出数值时，分别用指示符%d、%u和%x以有符号十进制、无符号十进制和十六进制格式输出一个数字。注意，printf没有使用任何类型信息，所以它可以用指示符%u来输出类型为int的数值，也可以用指示符%d输出类型为signed的数值。考虑下面的代码：

#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[])
{
	int x = -1;
	unsigned u = 2147483648;

	printf("x = %u = %d\n", x, x);
	printf("u = %u = %d\n", u, u);
	return 0;
}

　　

运行结果：

x = 4294967295 = -1
u = 2147483648 = -2147483648

　　

在这两种情况下，printf首先将变量当做一个无符号输出，然后当做一个有符号输出。以下是实际运行中的转换函数：T2U₃₂(-1)=UMax₃₂=2³²-1和U2T₃₂(2³¹)=2³¹-2³²=-2³¹=TMin₃₂。

由于C语言对同时包含有符号数和无符号数表达式的这种处理方式，出现了一些奇特的行为。当执行一个运算时，如果它的一个运算数是有符号的而另一个是无符号的，那么C语言会隐式地将有符号参数强制类型转换为无符号数，并假设这两个数都是非负的，来执行这个运算。图2-14展示了一些关系表达式的示例以及它们得到的求值结果，这里假设数据类型int表示为32位补码。考虑比较式-1<0U，因为第二个运算数是无符号的，第一个运算数会被隐式地转换为无符号数。因此表达式等价于4294967295U<0U，这个答案显然是错的。其他示例也可以通过相似的分析来理解。

图2-14   C语言的升级规则的效果。

注：非直观的情况标注了‘*’，当一个运算数是无符号的时候，另一个运算数也会被强制隐式地转换为无符号。

扩展一个数字的位表示

一个常见的运算是在不同字节长度的整数之间转换，同时又保持数值不变。要将一个无符号数转换成一个更大的数据类型，我们只要简单地在表示的开头添加0。这种运算被称为零扩展，表示原理如下：

原理：无符号数的零扩展

定义宽度为w的位向量和宽度为w'的位向量，其中w'>w，则。

按照公式（2.1），该原理可以看做是直接遵循了无符号数编码的定义。

要将一个补码数字转换为一个更大的数据类型，可以执行一个符号扩展，在表示中添加更高有效位的值，表示为如下原理：

原理：补码数的符号位扩展

定义宽度为w的位向量和宽度为w'的位向量，其中w'>w。则。

图2-15给出了从字长w=3到w=4的符号扩展的结果。位向量[101]=-4+1=-3。对它应用符号位扩展，得到位向量[1101]，表示的值-8+4+1=-3。我们可以看到，对于w=4，最高两位的组合值是-8+4=-4，与w=3时符号位的值相同。类似地，位向量[111]和[1111]都表示-1。

图2-15   从w=3到w=4的符号扩展示例。对于w=4，最高两位组合权重为-8+4=-4，与w=3时的符号位权重一样

有了这个直觉，我们现在可以展示保持补码值的符号扩展。

推导：补码数值的符号扩展

令w'=w+k，我们想要证明的是

下面的证明是对k进行归纳。也就是说，如果我们能证明符号扩展一位保持的数值不变，那么符号扩展任意位都能保持这种属性。因此，证明任务变成了：

用等式（2.3）展开左边的表达式，得到：

我们使用关键属性是2^w-2^w-1=2^w-1。因此，加上一个权值为-2w的位，和将一个权值为-2^w-1的位转换为一个权值为-2^w-1的位，这两种运算的综合效果就会保持原始的数值。

截断数字

假设我们不用额外的位来扩展一个数值，而是减少表示一个数字的位数。例如下面代码中的情况：

int x = 53191;
short sx = (short) x;	/* -12345 */
int y = sx;				/* -12345 */

　　

当我们把x强制类型转换为short时，我们就将32位的int截断为16位的short int。当我们把它强制类型转换为int时，符号扩展把高位设置为1，从而生成-12345的32位补码表示。

当将一个w位的数截断为一个k位数字时，我们会丢弃高w-k位，得到一个位向量。截断一个数字可能会改变它的值——溢出的一种形式。对于一个无符号数，我们可以很容易地得出其数值的结果。

原理：截断无符号数

令等于向量，而是将其截断为k位的结果：。令。则。

该原理背后的直觉就是所有被截取的位其权重形式都为2ⁱ，其中i>=k，因此，每一个权在取模操作下结构都为0，可用如下推导表示：

推导：截断无符号数

通过对等式（2.1）应用取模运算就可以看到：

在这段推导中，我们利用了属性：对于任何i>=k，2ⁱ mod 2^k=0。

补码截断也具有相似的属性，只不过要将高位转换为符号位：

原理：截断补码数值

令等于向量，而是将其截断为k位的结果：。令。则。

在这个公式中，x mod 2^k 将是0到2^k-1之间的一个数。对其应用函数U2T_k产生的效果是把最高有效位x_k-1的权重从2^k-1转变为-2^k-1。举例来看，将数值x=53 191从int转换为short。由于2¹⁶=65 536>=x，我们有x mod 2¹⁶=x。但是，当我们把这个数转换为16位的补码时，我们得到x'=53 191- 65 536=-12 345。

推导：截断补码数值

使用与无符号数截断相同的参数，则有

也就是，x mod 2¹⁶能够被一个位级表示为的无符号数表示。将其转换为补码则有。

总而言之，无符号数的截断结果是：

而补码数字的截断结果是：