§6 重因式
一、重因式的定义
定义9 不可约多项式
称为多项式
的
重因式,如果
,但
.
如果
，那么
根本不是
的因式；如果
，那么
称为
的单因式；如果
，那么
称为
的重因式.
注意. 
重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.
显然，如果
的标准分解式为
,
那么
分别是
的
重，
重，… ,
重因式.指数
的那些不可约因式是单因式；指数
的那些不可约因式是重因式.
不可约多项式
是多项式
的
重因式的充要条件是存在多项式
,使得
,且
.
二、重因式的判别
设有多项式
,
规定它的微商（也称导数或一阶导数）是
.
通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:
同样可以定义高阶微商的概念.微商
称为
的一阶微商；
的微商
称为
的二阶微商；等等. 
的
阶微商记为
.
一个
次多项式的微商是一个
次多项式；它的
阶微商是一个常数；它的
阶微商等于0.
定理6 如果不可约多项式
是多项式
的一个
重因式,那么
是微商
的
重因式.
分析: 要证
是微商
的
重因式,须证
,但
.
注意:定理6的逆定理不成立.如
, 
,
是
的2重因式,但根本不是
是因式.当然更不是三重因式.
推论1 如果不可约多项式
是多项式
的一个
重因式,那么
是
，
,…,
的因式,但不是
的因式.
推论2 不可约多项式
是多项式
的重因式的充要条件是
是
与
的公因式.
推论3 多项式
没有重因式
这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域
过渡到含
的数域
时都无改变,所以由定理6有以下结论:
若多项式
在
中没有重因式,那么把
看成含
的某一数域
上的多项式时, 
也没有重因式.
例1 判断多项式
有无重因式
三、去掉重因式的方法
设
有重因式,其标准分解式为
.
那么由定理5
此处
不能被任何
整除.于是
用
去除
所得的商为
这样得到一个没有重因式的多项式
.且若不计重数, 
与
含有完全相同的不可约因式.把由
找
的方法叫做去掉重因式方法.
例2 求多项式
的标准分解式.
§7 多项式函数
到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.
一、多项式函数
设
(1)
是
中的多项式，
是
中的数，在(1)中用
代
所得的数
称为
当
时的值,记为
.这样，多项式
就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.
因为
在与数域
中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果
那么
定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式
，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值
.
如果
在
时函数值
，那么
就称为
的一个根或零点.
由余数定理得到根与一次因式的关系.
推论
是
的根的充要条件是
.
由这个关系，可以定义重根的概念.
称为
的
重根，如果
是
的
重因式.当
时，
称为单根；当
时，
称为重根.
定理8
中
次多项式
在数域
中的根不可能多于
个，重根按重数计算.
二、多项式相等与多项式函数相等的关系
在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有
,
而对于
中所有的数
都有
?
由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理9 如果多项式
,
的次数都不超过
,而它们对n+1个不同的数有相同的值即
,
,那么
=
.
因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域
上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.
三、综合除法
根据余数定理,要求
当
时的值,只需用带余除法求出用
除
所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.
设
并且设
. (2)
其中
比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
这样,欲求系数
,只要把前一系数
乘以
再加上对应系数
,而余式
也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:
表中的加号通常略去不写.
例1 用
除
.
例2 求
使
能被
整除
注意 :若
缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.
四、拉格朗日插值公式
已知次数
的多项式
在
的值
.设
依次令
代入
,得
这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.
例3 求次数小于3的多项式
,使
.
下面介绍将一个多项式表成一次多项式
的方幂和的方法.所谓
次多项式
表成
的方幂和，就是把
表示成
的形式.如何求系数
，把上式改写成
,
就可看出
就是
被
除所得的余数，而
就是
被
除所得的商式.又因为
.
又可看出
是商式
被
除所得的余式，而
.
就是
被
除所得商式.这样逐次用
除所得的商式，那么所得的余数就是
.
例4 将
展开成
的多项式.
解 令
，则
.于是
.
问题变为把多项式
表成
（即
）的方幂和,
-2 | 1 2 -3 1 5
+) -2 0 6 -14
-------------------------------------------------------
-2 | 1 0 -3 7 | -9
+) -2 4 -2
------------------------------------------------------
-2 | 1 -2 1 | 5
+) -2 8
-----------------------------------------------
-2 | 1 -4 | 9
+) -2
----------------------------------
1 | -6
所以
.
注意：将
表成
的方幂和，把
写在综合除法的左边，将
的方幂和展开成
的多项式，那么相当于将
表成
的方幂和，要把
写在综合除法的左边.
§8 复系数和实系数多项式的因式分解
一、 复系数多项式因式分解定理
代数基本定理 每个次数
的复系数多项式在复数域中有一个根.
利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数
的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
复系数多项式因式分解定理 每个次数
的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
其中
是不同的复数，
是正整数.标准分解式说明了每个
次复系数多项式恰有
个复根（重根按重数计算）.
二、实系数多项式因式分解定理
对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果
是实系数多项式
的复根，那么
的共轭数
也是
的根,并且
与
有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.
实系数多项式因式分解定理 每个次数
的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.
因此，实系数多项式具有标准分解式
其中
全是实数，
,
是正整数，并且
是不可约的，也就是适合条件
..
代数基本定理虽然肯定了
次方程有
个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.
三、
次多项式的根与系数的关系.
令
(1)
是一个
(>0)次多项式,那么在复数域
中
有
个根
因而在
中
完全分解为一次因式的乘积:
展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.
其中第
个等式的右端是一切可能的
个根的乘积之和,乘以
.
若多项式
的首项系数
那么应用根与系数的关系时须先用
除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:
利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.
例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.
例2. 分别在复数域和实数域上分解
为标准分解式.
§9 有理系数多项式
作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.
一、有理系数多项式的有理根
设
是一个有理系数多项式.选取适当的整数
乘
，总可以使
是一个整系数多项式.如果
的各项系数有公因子，就可以提出来，得到
,
也就是
其中
是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.
如果一个非零的整系数多项式
的系数
没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式
都可以表示成一个有理数
与一个本原多项式
的乘积，即
.
可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果
,
其中
都是本原多项式，那么必有
因为
与
只差一个常数倍，所以
的因式分解问题，可以归结为本原多项式
的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.
定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.
定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.
以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.
推论 设
，
是整系数多项式，且
是本原多项式，如果
，其中
是有理系数多项式，那么
一定是整系数多项式.
这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.
定理12 设
是一个整系数多项式.而
是它的一个有理根,其中
互素,那么
(1) 
;特别如果
的首项系数
，那么
的有理根都是整根，而且是
的因子.
(2) 
其中
是一个整系数多项式.
给了一个整系数多项式
,设它的最高次项系数的因数是
,常数项的因数是
那么根据定理12,欲求
的有理根,只需对有限个有理数
用综合除法来进行试验.
当有理数
的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.
首先,1和-1永远在有理数
中出现,而计算
与
并不困难.另一方面,若有理数
是
的根,那么由定理12,
而
也是一个整系数多项式.因此商
都应该是整数.这样只需对那些使商
都是整数的
来进行试验.(我们可以假定
与
都不等于零.否则可以用
或
除
而考虑所得的商.)
例1 求多项式
的有理根.
例2 证明
在有理数域上不可约.
二、有理数域上多项式的可约性
定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设
是一个整系数多项式.若有一个素数
,使得
1. 
;
2. 
;
3. 
.
则多项式
在有理数域上不可约.
由艾森斯坦判断法得到:
有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如
.,其中
是任意正整数.
艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.
有时对于某一个多项式
,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把
适当变形后,就可以应用这个判断法.
例3 设
是一个素数,多项式
叫做一个分圆多项式,证明
在
中不可约.
证明：令
，则由于
,
,
令
，于是
,
由艾森斯坦判断法，
在有理数域上不可约，
也在有理数域上不可约.
第一章 多项式(小结)
一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.
一、基本概念.
1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.
2．基本结论:
(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.
(2) 
(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.
二、整除性理论
1.整除的概念及其基本性质.
2.带余除法.
(1) 带余除法定理.
(2) 设
.
因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.
3. 最大公因式和互素.
(1) 最大公因式,互素的概念.
(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.
(3) 设
是
与
的最大公因式,则
.反之不然.
(4) 
.
(5) 
三、 因式分解理论
1.不可约多项式
(1) 不可约多项式的概念.
(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:
(3) 整系数多项式在有理数域上可约
它在整数环上可约.
(4) 艾森斯坦判断法.
2.因式分解的有关结果:
(1) 因式分解及唯一性定理.
(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.
(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.
3.重因式
(1) 重因式的概念.
(2) 若不可约多项式
是
的
重因式
,则
是
的
重因式.
(3) 
没有重因式
.
(4) 消去重因式的方法:
是一个没有重因式的多项式,它与
具有完全相同的不可约因式.
四、多项式根的理论
1.多项式函数,根和重根的概念.
2.余数定理.
去除
所得的余式为
,则
3.有理系数多项式的有理根的求法.
4.实系数多项式虚根成对定理.
5.代数基本定理.每个
次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而
次复系数多项式恰有
个复根(重根按重数计算).
6.韦达定理.
7.根的个数定理.F[x]中
次多项式
在数域F中至多有
个根.
8.多项式函数相等与多项式相等是一致的.
重点:一元多项式的因式分解理论.
难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.
本章主要内容之间的内在联系可用下列图表表示:
