§4 矩阵的秩
一、矩阵的秩
如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵
的行向量组是
它的秩是3.它的列向量组是
它的秩也是3.
矩阵
的行秩等于列秩，这点不是偶然的.
引理 如果齐次线性方程组
（1）
的系数矩阵
的行秩
，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的联系
定理5
矩阵
的行列式为零的充要条件是
的秩小于
.
推论 齐次线性方程组
有非零解的充要条件是它的系数矩阵
的行列式等于零.
定义16 在一个
矩阵
中任意选定
行和
列，位于这些选定的行和列的交点上的
个元素按原来的次序所组成的
级行列式，称为
的一个
级子式.
在定义中，当然有
，这里
表示
中较小的一个.
定理6 一矩阵的秩是
的充要条件为矩阵中有一个
级子式不为零，同时所有
级子式全为零.
从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵
的秩
的充要条件为有一个
级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩
的充要条件为的所有
级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为
的矩阵中，不为零的
级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.
三、矩阵的秩的计算
在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.
首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.
上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.
以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.
例 利用初等变换求下面矩阵的秩：
.
§5 线性方程组有解判别定理
设线性方程组为
(1)
引入向量
. (2)
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
. (3)
显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量
可以表成向量组
的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下：
定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵
与增广矩阵
有相同的秩.
应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵
化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：
或者
其中
.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵
经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.
以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.
根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.
设线性方程组(1)有解，矩阵
与
的秩都等于
，而
是矩阵
的一个不为零的
级子式(当然它也是
的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设
位于
的左上角.
显然，在这种情况下，
的前
行就是一个极大线性无关组，第
行都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与
(4)
同解.
当
时，由克拉默法则，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1)有唯一解.
当
时，将线性方程组(4)改写为
(5)
(5)作为
的一个方程组，它的系数行列式.由克拉默法则，对于
的任意一组值，线性方程组(5)，也就是线性方程组(1)，都有唯一的解. 
就是线性方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出
：
(6)
(6)就是线性方程组(1)的一般解.
例 
取怎样的数值时，线性方程组
有唯一解，没有解，有无穷多解？
§6 线性方程组解的结构
在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.
一、齐次线性方程组的解的结构
设
(1)
是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：
1. 两个解的和还是方程组的解.
2. 一个解的倍数还是方程组的解.
从几何上看，这两个性质是清楚的.在
时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？
定义17 齐次线性方程组(1)的一组解
称为(1)的一个基础解系，如果
1）(1)的任一个解都能表成
的线性组合；
2）
线性无关.
应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.
定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于
，这里
表示系数矩阵的秩(以下将看到，
也就是自由未知量的个数).
定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.
二、一般线性方程组的解的结构
如果把一般线性方程组
(9)
的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：
1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.
2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.
定理9 如果
是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解
都可以表成
其中
是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解
，当
取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.
定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果
是线性方程组(9)的一个特解，
是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解
都可以表成
推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组
(11)
(11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是
与
,
它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：
1. 秩
=秩
=1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为
的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.
2. 秩
=1，秩
=2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.
3. 秩
=2.这时
的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.
下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵
的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是
，一般解的形式为
(12)
从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程
.
如果引入参数
，令
，(12)就成为
(13)
这就是直线的参数方程.
(11)的导出方程组是
(14)
从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是
(15)
(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系.
例1 求线性方程组
的一个基础解系.
例2 设线性方程组
用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.
§7 二元高次方程组
一、结式的概念
引理 设
是数域
上两个非零的多项式，它们的系数
不全为零.于是
与
在
中有非常数的公因式
在
中存在非零的次数小于
的多项式
与次数小于
的多项式
，使
下面把引理中的条件改变一下.令
由多项式相等的定义，等式
(5)
就是左右两端对应系数相等，即
(6)
如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的齐次线性方程组.显然，引理中的条件："在
中存在非零的次数小于
的多项式
与次数小于
的多项式
，使(5)成立"就相当于说，齐次线性方程组(6)有非零解.
我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列式等于零.
把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号，取行列式就得
.
对任意多项式
(它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式，记为
.综合以上分析，就可以证明
定理10 设
是
中两个非零的多项式，
于是它们的结式
的充要条件是
与
在
中有非常数的公因式或者它们的第一个系数
全为零.
当
是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上多项式
，
，
的充要条件为
，
在复数域中有公共根或者它们的第一个系数全为零.
例1
取何值时，多项式
有公根.
二、二元高次方程组的解法
结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法.
设
是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组
(7)
在复数域中的全部解. 
可以写成
其中
是
的多项式.把
看作是
的多项式，令
这是一个
的复系数多项式.
定理11 如果
是方程组(7)的一个复数解，那么
就是
的一个根；反过来，如果
是
的一个复根，那么，
或者存在一个复数
使
是方程组(7)的一个解.
由此可知，为了解方程组(7)，我们先求高次方程
的全部根，把
的每个根代入(7)，再求
的值.这样，我们就得到(7)的全部解.
例2 求方程组
的解.
第三章 线性方程组(小结)
一、.向量的线性关系
1．基本概念：
维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价，向量组的秩.
2． 主要结论：
1) 向量组
线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出.
2）设向量组
线性无关，而向量组
线性相关，那么
可由
线性表出，而且表示法唯一.
3) 设向量组
中每一个向量都是向量组
的线性组合，而且
，那么向量组
必线性相关.
3. 向量组线性相关的判定：
1）根据定义；
2) 计算以向量组为行(列)的矩阵的秩；
二、矩阵的秩
1. 矩阵的秩
矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩，即矩阵的行(列)秩.=不为零的子式的最大级数.
2. 矩阵的初等变换
1) 初等变换不改变矩阵的秩；
2) 用初等变换计算矩阵的秩；
三、线性方程组的解的情形
1. 线性方程组有解的判定：
(1)
有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
2. 线性方程组的解的个数：
1) 当秩(
)=秩(
)=
，方程组(1)有唯一解；
2）当秩(
)=秩(
)=
,方程组(1)有无穷多解.
3．齐次线性方程组的解的情形：
(2)
总是有解.
1) 当秩(
)=
，方程组(2)只有零解；
2) 当秩(
)=
,方程组(2)有非零解.
四、线性方程组的解的结构
1) 齐次线性方程组的基础解系.
2) 当秩(
)=
,方程组(2)的任意
个线性无关的解向量
，都是它的基础解系，(2)的全部解可表示为
,
其中
是任意的数.
3) 当秩(
)=秩(
)=
时，如果
是线性方程组(1)的一个特解，
是(1)的相应导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解
都可以表成
,
其中
是任意数.
