§9 三矢量的混合积
定义1 给定空间的三个矢量,我们叫做三矢量的混合积,记做或.
定理1 三个不共面矢量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积,并且当构成右手系时混合积为正;当构成左手系时混合积为负.
证 由于矢量不共面,所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体,它的底面是以为边的平行四边形,面积为,它的高为,体积是.
根据数性积的定义,
其中是与的夹角.
当构成右手系时,,,因而可得
.
当构成左手系时,,,因而可得
.
定理2 三矢量共面的充要条件是.
证 若三矢量共面,由定理1.9.1知,所以,从而.
反过来,如果,即,那么根据定理1.7.1有,另一方面,有矢性积的定义知,所以共面.
定理3 轮换混合积的三个因子,并不改变它的值;对调任何俩因子要改变混合积符号,即
.
证 当共面时,定理显然成立;当不共面时,混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积,又因轮换的顺序时,不改变左右手系,因而混合积不变,而对调任意两个之间的顺序时,将右手系变为左,而左变右,所以混合积变号.
推论1 .
定理4 设,,,那么
.
证 由矢量的矢性积的计算知
,
再根据矢量的数性积得
==
=.
推论2 三矢量共面的充要条件是
.
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