§3 数量乘矢量
定义1 设是一个数量,矢量
与
的乘积是一矢量,记作
,其模等于
的
倍,即
;且方向规定如下:当
时,矢量
的方向与
的方向相同;当
时,矢量
是零矢量,当
时,矢量
的方向与
的方向相反.
特别地,取,则矢量
的模与
的模相等,而方向相反,由负矢量的定义知:
.
据矢量与数量乘积的定义,可导出数乘矢量运算符合下列运算规律:
定理2. 数量与矢量的乘法满足下面的运算律:
1、结合律 , (1.3-1)
2、分配律
, (1.3-2)
. (1.3-3)
证 1、显然,矢量、
、
的方向是一致,
且
=
=
=
.
2、分配律 如图1-11
一个常用的结论:
定理3. 若(
为数量 ),则矢量
与向量
平行,记作
;反之,若矢量
与矢量
平行,则
(
是数量).
简言之,.
设是非零矢量,用
表示与
同方向的单位矢量.
由于与
同方向,从而
与
亦同方向,而且
,
即 .
我们规定:若,
. 于是
.
这表明:一个非零矢量除以它的模是一个与原矢量同方向的单位矢量.
请注意:矢量之间并没有定义除法运算,因此决不能将式子改写成形式
.
十分显然,这种错误是受实数运算法则的"惯性作用"所造成.
例1 设AM是三角形ABC的中线,求证
.
证 如图1-12,
因为 ,
所以
但
因而 ,
即 .