§6 行列式按一行(列) 展开
在§4看到，对于
级行列式，有
. (1)
现在来研究这些
,
究竟是什么.
三级行列式可以通过二级行列式表示：
. (2)
定义7 在行列式
中划去元素
所在的第
行与第
列，剩下的
个元素按原来的排法构成一个
级行列式
(3)
称为元素
的余子式，记作
下面证明
. (4)
为此先证明
级行列式与
级行列式的下面这个关系，
. （5）
定义8 上面所谈到的
称为元素
的代数余子式.
这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第
行的元素等于另外一行，譬如说，第
行的元素，也就是
于是
右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.
定理3 设
表示元素
的代数余子式，则下列公式成立：
(6)
(7)
用连加号简写为
在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个
级行列式的计算换成
个(
)级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.
例1 计算行列式
例2 行列式
(8)
称为
级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的
，
级范德蒙德行列式等于
这
个数的所有可能的差
的乘积.
用连乘号，这个结果可以简写为
.
由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是
这
个数中至少有两个相等.
例3 证明
§7 克拉默(Cramer)法则
现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.
定理4 如果线性方程组
(1)
的系数矩阵
(2)
的行列式
那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
, (3)
其中
是把矩阵
中第
列换成常数项
所成的矩阵的行列式，即
(4)
定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1. 把
代入方程组，验证它确是解.
2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出.
定理4通常称为克拉默法则.
例1 解方程组
应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为
就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有
定理5 如果齐次线性方程组
(10)
的系数矩阵的行列式
，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有
.
例2 求
在什么条件下，方程组
有非零解.
克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个
个未知量
个方程的线性方程组就要计算
个
级行列式，这个计算量是很大的.
§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则
一、拉普拉斯定理
定义9 在一个
级行列式
中任意选定
行
列(
)，位于这些行和列的交点上的
个元素按照原来的次序组成一个
级行列式
，称为行列式
的一个
级子式.在
中划去这
行
列后余下的元素按照原来的次序组成的
级行列式
称为
级子式
的余子式.
从定义立刻看出，
也是
的余子式.所以
和
可以称为
的一对互余的子式.
例1 在四级行列式
中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式
：
,
的余子式为
.
例2 在五级行列式
中
和
是一对互余的子式.
定义10 设
的
级子式
在
中所在的行、列指标分别是
，则
的余子式
前面加上符号
后称做
的代数余子式.
因为
与
位于行列式
中不同的行和不同的列，所以有下述
引理 行列式
的任一个子式
与它的代数余子式
的乘积中的每一项都是行列式
的展开式中的一项，而且符号也一致.
定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式
中任意取定了
(
)个行.由这
行元素所组成的一切
级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式
.
例3 利用拉普拉斯定理计算行列式
从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.
二、行列式的乘积法则
定理7 两个
级行列式
和
的乘积等于一个
级行列式
,
其中
是
的第
行元素分别与
的第
列的对应元素乘积之和：
.
这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.
第二章 行列式(小结)
一、行列式理论
1. 
级排列
(1) 基本概念:排列,反序,反序数,排列的奇偶性
(2) 主要结论
级排列共有
个,其中奇偶排列各占一半
对换改变排列的奇偶性
任意一个
级排列都可以经过一些对换变成自然顺序,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
2. 
级行列式的概念
其中
3. 行列式的性质
(1) 有关行列式的转置
行列互换,行列式不变
(2) 有关行(列)的变换
互换行(列),行列式反号
用一个数乘某行(列),就等于用这个数乘这个行列式
把某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变
(3) 有关按行(列)分解为两个行列式的和
如果某行(列)是两组数的和,那么行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)分别是第一组数与第二组数,而其它各行(列)都与原行列式相同
(4) 有关行列式等于零
两行(列)成比例,行列式等于零
4. 行列式依行依列展开
(1) 基本概念:子式,余子式,代数余子式
(2) 主要公式
5. 克拉默规则
若线性方程组
的行列式
,则它有唯一解
其中
是把
的第
列换成常数项
所得的行列式
二、行列式计算方法
1. 定义法 本章主要内容的内在联系:
2. 化为三角形行列式的方法
3. 化为范得蒙行列式的方法
4. 拆行(列)法
5. 降级法
6. 加边法
7. 数学归纳法
8. 递推法
9. 因式分解法
二、行列式计算方法
- 定义法
2. 化为三角形行列式的方法
3. 化为范得蒙行列式的方法
4. 拆行(列)法
5. 降级法
6. 加边法
7. 数学归纳法
8. 递推法
9. 因式分解法
重点 行列式的计算
难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质
3. 化为范得蒙行列式的方法
例1 计算行列式
解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式
= 
易知
等于
中
的系数的相反数,而
中
的系数为
,因此,
.
4. 拆行(列)法
例2 计算行列式
.
解：
.
5. 降级法
例3 计算行列式
.
解：易得 
.
6. 加边法
例4 计算行列式
.
解：
而当
时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同样的结果.
7. 数学归纳法
例5 计算行列式
.
解：
,
于是猜想 
.
证明：对级数用第二数学归纳法证明.
时,结论成立.假设对级数小于
时，结论成立.将
级行列式按第
行展开，有
.
8. 递推法：利用已给行列式的特点，建立起同类型的
级行列式和
级或更低级行列式之间的关系式，称为递推公式.
例6 计算行列式
.
解：将行列式按第
列展开,有
,
得
。
同理得
,
例7 计算
解
同理
联立解得
当
时,
9. 因式分解法
如果行列式
是某个变数
的多项式
，可对行列式施行某些变换，求出
的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为
，则
，再比较
与
的某一项的系数，求出
值.
例8 计算行列式
.
解:注意
时，
所以，
.
同理
均为
的因式
又
与
各不相同
所以 
但
的展开式中最高次项
的系数为1，
所以
注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.
