§1 消元法
一、线性方程组的初等变换
现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
(1)
的方程组，其中
代表
个未知量，
是方程的个数，
称为线性方程组的系数，
称为常数项.方程组中未知量的个数
与方程的个数
不一定相等.系数
的第一个指标
表示它在第
个方程，第二个指标
表示它是
的系数.
所谓方程组(1)的一个解就是指由
个数
组成的有序数组
，当
分别用
代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
(2)
来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例如，解方程组
第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得
这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1. 用一非零数乘某一方程；
2. 把一个方程的倍数加到另一个方程；
3. 互换两个方程的位置.
定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.
二、线性方程组的解的情形
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组(1)，首先检查
的系数.如果
的系数
全为零，那么方程组(1)对
没有任何限制，
就可以取任何值，而方程组(1)可以看作
的方程组来解.如果
的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设
.利用初等变换2，分别把第一个方程的
倍加到第
个方程(
).于是方程组(1)就变成
(3)
其中
这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
(4)
的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出
的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
(5)
其中
.方程组(5)中的"0=0"这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.
现在考虑(5)的解的情况.
如(5)中有方程
，而
.这时不管
取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.
当
是零或(5)中根本没有"0=0"的方程时，分两种情况：
1）
.这时阶梯形方程组为
(6)
其中
.由最后一个方程开始，
的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.
例1 解线性方程组
2）
.这时阶梯形方程组为
其中
.把它改写成
(7)
由此可见，任给
一组值，就唯一地定出
的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把
通过
表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而
称为一组自由未知量.
例2 解线性方程组
从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式"0=0"(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数
等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数
小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.
定理1 在齐次线性方程组
中，如果
，那么它必有非零解.
矩阵
(10)
称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.
例3 解线性方程组
§2 
维向量空间
定义2 所谓数域
上一个
维向量就是由数域
中
个数组成的有序数组
(1)
称为向量(1)的分量.
用小写希腊字母
来代表向量.
定义3 如果
维向量
的对应分量都相等，即
.
就称这两个向量是相等的，记作
.
维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.
定义4 向量
称为向量
的和，记为
由定义立即推出：
交换律： 
. (2)
结合律： 
. (3)
定义5 分量全为零的向量
称为零向量，记为0;向量
称为向量
的负向量，记为
.
显然对于所有的
，都有
. (4)
. (5)
(2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.
定义6 
定义7 设
为数域
中的数，向量
称为向量
与数
的数量乘积，记为
由定义立即推出：
, (6)
, (7)
, (8)
. (9)
(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：
, (10)
, (11)
. (12)
如果
，那么
. (13)
定义8 以数域
中的数作为分量的
维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域
上的
维向量空间.
在
时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.
以上已把数域
上全体
维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域
上
维向量空间.
向量通常是写成一行：
.
有时也可以写成一列：
.
为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.
§3 线性相关性
一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。
一、线性相关与线性无关
两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量
与
成比例就是说有一数
使
.
定义9 向量
称为向量组
的一个线性组合，如果有数域
中的数
，使
,
其中
叫做这个线性组合的系数.
例如，任一个
维向量
都是向量组
（1）
的一个线性组合.
向量
称为
维单位向量.
零向量是任意向量组的线性组合.
当向量
是向量组
的一个线性组合时，也说
可以经向量组
线性表出.
定义10 如果向量组
中每一个向量
都可以经向量组
线性表出，那么向量组
就称为可以经向量组
线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组
可以经向量组
线性表出，向量组
可以经向量组
线性表出，那么向量组
可以经向量组线性表出.
向量组之间等价具有以下性质：
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性：如果向量组
与
等价，那么向量组
与
等价.
3）传递性：如果向量组
与
等价，
与
等价，那么向量组
与
等价.
定义11 如果向量组
中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组
线性相关.
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组
线性相关就表示
或者
(这两个式子不一定能同时成立).在
为实数域，并且是三维时，就表示向量
与
共线.三个向量
线性相关的几何意义就是它们共面.
定义11′向量组
称为线性相关的，如果有数域
中不全为零的数
，使
这两个定义在
的时候是一致的.
定义12 一向量组
不线性相关，即没有不全为零的数
，使
就称为线性无关；或者说，一向量组
称为线性无关，如果由
可以推出
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.
定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.
不难看出，由
维单位向量
组成的向量组是线性无关的.
具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组
(2)
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
(3)
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
(4)
因之，向量组
线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.
例1 判断
的向量
是否线性相关。
例2 在向量空间
里，对于任意非负整数
线性无关.
例3 若向量组
线性无关，则向量组
也线性无关.
从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的
维的向量组
(5)
也线性无关.
定理2 设
与
是两个向量组.如果
1）向量组
可以经
线性表出，
2） 
，
那么向量组
必线性相关.
推论1 如果向量组
可以经向量组
线性表出，且
线性无关，那么
.
推论2 任意
个
维向量必线性相关.
推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.
定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果
，那么可以由向量
线性表出的向量当然都在
所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当
时，这些向量线性相关.两个向量组
与
等价，就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组
定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
例4 看
的向量组
在这里｛
｝线性无关，而
，所以｛
｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛
｝，｛
｝也都是向量组｛
｝的极大线性无关组.
由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有
定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.
每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.
含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.
现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
各个方程所对应的向量分别是
.设有另一个方程
它对应的向量为
.则
是
的线性组合，
当且仅当
，即方程(B)是方程
的线性组合.容易验证，方程组
的解一定满足(B).进一步设方程组
它的方程所对应的向量为
.若
可经
线性表出，则方程组
的解是方程组
的解.再进一步，当
与
等价时，两个方程组同解.
例5 （1）设
线性无关，证明
也线性无关；对
个线性无关向量组
，以上命题是否成立？
（2）当
线性无关，证明
也线性无关，当
线性无关时，
是否也线性无关？
例6 设在向量组
中，
且每个
都不能表成它的前
个向量
的线性组合，证明
线性无关.
