§5 矩阵的分块
在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分块.
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中，
表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算
时，把
都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设
，把
分成一些小矩阵
, (1)
, (2)
其中每个
是
小矩阵，每个
是
小矩阵，于是有
, (3)
其中
. (4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在那里，用
表示
的行向量，于是
,
这就是
的一种分块.按分块相乘，就有
.
用这个式子很容易看出
的行向量是
的行向量的线性组合；将
进行另一种分块乘法，从结果中可以看出
的列向量是
的列向量的线性组合.
作为一个例子，我们来求矩阵
的逆矩阵，其中
分别是
级和
级的可逆矩阵，
是
矩阵，
是
零矩阵.
首先，因为
,
所以当
可逆时，
也可逆.设
,
于是
,
这里
分别表示
级和
级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得
由第一、二式得
,
代入第四式，得
,
代入第三式，得
.
因此
.
特别地，当
时，有
.
形式为
的矩阵，其中
是数
，通常称为对角矩阵，而形式为
的矩阵，其中
是
矩阵
，通常称为准对角矩阵.当然，准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形.
对于两个有相同分块的准对角矩阵
,
,
如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
它们还是准对角矩阵.
其次，如果
都是可逆矩阵，那么
.
§6 初等矩阵
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.
一、初等矩阵
定义10 由单位矩阵
经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互换矩阵
的
行与
行的位置，得
用数域
中非零数
乘
的
行，有
,
把矩阵
的
行的
倍加到
行，有
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把
的
列的
倍加到
列，我们仍然得到
.因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.
引理 对一个
矩阵
作一初等行变换就相当于在
的左边乘上相应的
初等矩阵；对
作一初等列变换就相当于在
的右边乘上相应的
的初等矩阵.
不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上
.
在第二章§5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简.
二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法
定义11 矩阵
与
称为等价的，如果
可以由
经过一系列初等变换得到.
等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性.
定理5 任意一个
矩阵
都与一形式为
的矩阵等价，它称为矩阵
的标准形，1的个数等于
的秩(1 的个数可以是零).
例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形，
根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之，矩阵
等价的充要条件是有初等矩阵
使
. (1)
级可逆矩阵的秩为
，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的.
定理6 
级矩阵
为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
. （2）
推论1 两个
矩阵
等价的充要条件为，存在可逆的
级矩阵
与可逆的
级矩阵
使
.
把(2)改写一下，有
. (3)
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵
的左边乘初等矩阵就相当于对
作初等行变换，所以(3)说明了
推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设
是一
级可逆矩阵.由推论2，有一系列初等矩阵
使
, (4)
由(4)即得
. (5)
(4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵
化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到
.
把
这两个
矩阵凑在一起，作成一个
矩阵
,
按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成
. (6)
(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作
矩阵
，用初等行变换把它的左边一半化成
，这时，右边的一半就是
.
例2 设
求
.
当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.
§7 分块乘法的初等变换及应用举例
将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段.
现设某个单位矩阵如下进行分块：
.
对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵
；一行(列)加上另一行(列)的
(矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
.
和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
,
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
, (1)
, (2)
. (3)
同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.
在(3)中，适当选择
，可使
.例如
可逆时，选
，则
.于是(3)的右端成为
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.
例1 设
,
可逆，求
.
例2设
,
其中
可逆，试证
存在，并求
.
例3 证明行列式的乘积公式
.
例4 设
，且
则有下三角形矩阵
使
=上三角形矩阵.
第四章 矩 阵（小结）
一、内容概述
1. 矩阵运算
1) 加法与减法 
其中
都是
矩阵
2) 数乘 
其中
是
矩阵
3) 乘法 
其中
是
矩阵,
是
矩阵,并且若
是
级矩阵,则 
.
4) 可逆矩阵
对于
级矩阵
,若存在矩阵
,使得 
.
则
叫做可逆矩阵,
叫做
的逆矩阵,记做
2. 矩阵的运算规律
1) 满足加法的交换律,结合律,乘法的结合律,数乘对加法的分配律,乘法对加法的左右分配律.此外还有
.
2) 要注意下面的与数不同的性质
(1) 
(2) 
可能
3. 几种特殊的矩阵
数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵
4. 矩阵
可逆的充要条件
级矩阵
可逆
可以通过初等变换化为单位矩阵;
可以写成初等矩阵的乘积;
的秩为
;
的行列式
.
逆矩阵的求法:
(1) 初等变换法 
(2) 伴随矩阵法 
5. 矩阵的秩 
6. 初等矩阵与矩阵的初等变换
1) 三种初等矩阵 
分别对应于三种初等变换.
2) 对矩阵
作初等行(列)变换,相当于用对应的初等矩阵左(右)乘
.
3) 矩阵的等价及标准形.
7. 矩阵的分块 分块矩阵的运算.
二、本章的主要内容及它们之间的内在联系
本章的重点是矩阵的乘法及其逆运算问题----逆矩阵的存在性和求法问题
本章的难点是矩阵的乘法及矩阵的分块乘法
三、解题方法与范例分析
本章的基本题型有:求给定矩阵的和,差,积.求与给定矩阵可交换的矩阵,矩阵可逆的证明及逆矩阵的求法,矩阵的秩的计算和证明,解矩阵方程.
1. 关于给定矩阵的和,差,积及混合运算
例1.设
为
级实矩阵,证明
2. 与给定矩阵可交换的矩阵的求法及证明
例2.用
表示
行
列的元素为1，其余元素全为0的
矩阵，而
.证明
1）若
，则当
时
，当
时
；
2）若
，则当
时
，当
时
，且
；
3）若
与所有的
级矩阵可交换，则
一定是数量矩阵，即
.
3. 矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法
例3.设
级矩阵
满足
,证明
可逆,并求其逆矩阵.
例4.设
为
级整数矩阵,证明:
存在且为整数矩阵的充要条件是
5. 矩阵的秩及相关问题的计算和证明
例5. 证明若
是
级矩阵(
),则
6. 解矩阵方程
例6. 试求矩阵方程
的所有解.
7. 分块矩阵的行列式
例7.设
都是
级矩阵，其中
并且
，证明
.
