第五章 二次型
§1 二次型及其矩阵表示
一、二次型及其矩阵表示
设
是一个数域,一个系数在数域
中的
的二次齐次多项式
称为数域
上的一个
元二次型，简称二次型.
定义1 设
是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
(2)
称为由
到
的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式
,那么线性替换(2)就称为非退化的.
线性替换把二次型变成二次型.
令
由于
所以二次型(1)可写成
把(3)的系数排成一个
矩阵
(4)
它称为二次型(3)的矩阵.因为
所以
把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令
或
应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当
时
正是它的
项的系数的一半,而
是
项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型
且
,则
.
令
,
于是线性替换（4）可以写成
或者
.
经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.
设
(7)
是一个二次型，作非退化线性替换
(8)
得到一个
的二次型
，
二、矩阵的合同关系
现在来看矩阵
与
的关系.
把（8）代入（7），有
易看出，矩阵
也是对称的，由此即得
.
这是前后两个二次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个
阶矩阵
，
称为合同的，如果有数域P上可逆的
矩阵
,使得
.
合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质:
1) 自反性:任意矩阵
都与自身合同.
2) 对称性:如果
与
合同,那么
与
合同.
3) 传递性:如果
与
合同,
与
合同,那么
与
合同.
因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。
最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
§2 标准形
一、二次型的标准型
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
. （1）
定理1 数域
上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.
易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，
反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：
定理2 在数域
上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵
都可以找到一个可逆矩阵
使
成对角矩阵.
二次型
经过非退化线性替换所变成的平方和称为
的标准形.
例 化二次型
为标准形.
二、配方法
1.
这时的变量替换为
令
,
则上述变量替换相应于合同变换
为计算
，可令
.
于是
和
可写成分块矩阵
,
这里
为
的转置，
为
级单位矩阵.这样
矩阵
是一个
对称矩阵，由归纳法假定，有
可逆矩阵
使
为对角形，令
,
于是
,
这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是
.
2. 
但只有一个
.
这时，只要把
的第一行与第
行互换，再把第一列与第
列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取
行
显然
.
矩阵
就是把
的第一行与第
行互换，再把第一列与第
列互换.因此，
左上角第一个元素就是
，这样就归结到第一种情形.
3. 
但有一
与上一情形类似，作合同变换
可以把
搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取
,
于是
的左上角就是
,
也就归结到第一种情形.
4. 
由对称性，
也全为零.于是
,
是
级对称矩阵.由归纳法假定，有
可逆矩阵
使
成对角形.取
，
就成对角形.
例 化二次型
成标准形.
§3 唯一性
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设
是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后，
变成标准形，不妨假定化的标准形是
. (1)
易知
就是
的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
(2)
(1)就变成
(3)
(3)就称为复二次型
的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有
定理3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.
定理3 换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为
的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.
设
是一实系数的二次型.由本章定理1，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使
变成标准形
(4)
其中
是
的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换
(5)
(4) 就变成
(6)
(6)就称为实二次型
的规范形.显然规范形完全被
这两个数所决定.
定理4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3 在实二次型
的规范形中，正平方项的个数
称为
的正惯性指数；负平方项的个数
称为
的负惯性指数；它们的差
称为
的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
定理5 （1）任一复对称矩阵
都合同于一个下述形式的对角矩阵：
.
其中对角线上1 的个数等于
的秩.
（2）任一实对称矩阵
都合同于一个下述形式的对角矩阵：
,
其中对角线上1的个数
及-1的个数
（
等于
的秩）都是唯一确定的，分别称为
的正、负惯性指数，它们的差
称为
的符号差..
§4 正定二次型
一、正定二次型
定义4 实二次型
称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数
都有
.
实二次型
是正定的当且仅当
.
设实二次型
(1)
是正定的，经过非退化实线性替换
(2)
变成二次型
(3)
则
的二次型
也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数
都有
.
因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换
变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变.
二、正定二次型的判别
定理6 实数域上二次型
是正定的
它的正惯性指数等于
.
定理6说明，正定二次型
的规范形为
(5)
定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型
正定.
因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的
它与单位矩阵合同.
推论 正定矩阵的行列式大于零.
定义6 子式
称为矩阵
的顺序主子式.
定理7 实二次型
是正定的
矩阵
的顺序主子式全大于零.
例 判定二次型
是否正定.
定义7 设
是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数
都有
,那么
称为负定的；如果都有
，那么
称为半正定的；如果都有
，那么
称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么
就称为不定的.
由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当
是负定时，
就是正定的.
定理8 对于实二次型
，其中
是实对称的，下列条件等价：
（1）
是半正定的；
（2）它的正惯性指数与秩相等；
（3）有可逆实矩阵
，使
其中
；
（4）有实矩阵
使
.
（5）
的所有主子式皆大于或等于零；
注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如
就是一个反例.
证明 Th8,
设
的主子式全大于或等于零，
是
的
级顺序主子式，
是对应的矩阵
其中
是
中一切
级主子式之和，由题设
，故当
时，
，
是正定矩阵.
若
不是半正定矩阵，则存在一个非零向量
，使
令 
与
时
是正定矩阵矛盾，故
是半正定矩阵.
Th8
记
的行指标和列指标为
的
级主子式为
，对应矩阵是
，对任意
，有
,其中
又
是半正定矩阵,从而 
.
若
，则P234,12T，存在
使
与
矛盾，所以
.
◇设
为
级实矩阵，且
，则
都是正定矩阵.
◇设
为
实矩阵，则
都是半正定矩阵.
证明
是实对称矩阵，
令
，则
是
维实向量
是半正定矩阵，同理可证
是半正定矩阵.
◇设
是
级正定矩阵，则
时，
都是正定矩阵.
证明 由于
正定，存在可逆矩阵
，使
,
,从而
为正定矩阵.
正定
又
正定，
,
正定,
正定.
对称
当
时，
,从而
正定.
当
时, 
所以
与
合同，因而
正定.
第五章 二次型(小结)
一、二次型与矩阵
1. 基本概念
二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同.
2. 基本结论
(1) 非退化线性替换把二次型变为二次型.
(2) 二次型
可经非退化的线性替换
化为二次型
.
(3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.
二、标准形
1. 基本概念
二次型的标准形;配方法.
2. 基本定理
(1) 数域
上任意一个二次型
都可经过非退化的线性替换
化为标准形式
.
(2) 在数域
上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
三、唯一性
1. 基本概念
复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.
2. 基本定理
(1) 任一复二次型
都可经过非退化的线性替换
化为唯一的规范形式
的秩.
因而有:两个复对称矩阵合同
它们的秩相等.
(2) 惯性定律:任一实二次型
都可经过非退化线性替换
化为唯一的规范形式
的秩,
为
的惯性指数.因而两个
元实二次型可经过非退化线性替换互化
它们分别有相同的秩和惯性指数.
(4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
四、正定二次型
1. 基本概念
正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.
2. 基本结论
(1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.
(2) 实二次型
正定
① 
与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵
,使得
;
② 
的顺序主子式都大于零.
③ 
的正惯性指数等于
.
