2.1 点估计
点估计：对于给定的总体和样本，如果用某个统计量的值估计总体的某个未知参数，这种估计方法称为点估计，该统计量称为点估计量。例如用样本均值
估计总体均值，用样本方差
估计总体方差，都属于点估计。
常用的求点估计量的方法有：矩估计法、最大似然估计法，是考研究生要求掌握的方法，常用教材都有详细叙述。
对于同一个未知参数，常有多种估计方法，如何选择？这涉及到估计量的评价标准。常从以下三个不同角度考察。
2.1.1 无偏性
定义1.5 设总体
含有未知参数
，
为来自总体的简单随机样本，又设
为
的一个估计量。若在给定范围内无论
如何取值，总有
，则称
为
的一个无偏估计量；若
，则称
为
的一个有偏估计量。
注意无偏估计的含义是：由于样本的随机性，估计值有时候偏大，有时候偏小，多次估计的平均值才能靠近真实的未知参数值。
无论无偏估计还是有偏估计，可以统一使用"均方误差"MSE评价：
（2-1）
对于无偏估计，
，但
可能很大，果真如此，它就不是一个好的估计量。反之，对于有偏估计，虽然
，但如果与
相加之后
仍然较小，则它就是一个较好的估计量。
例2.1 设总体
，
为来自总体的简单随机样本，欲估计总体均值
（注意
未知），比较以下三个点估计量的好坏：
，
，
解 本例题给出了利用MSE评价点估计量的随机模拟方法。由于
的总体均值为
，因此我们可以先取定一个固定值，例如
，然后在这个参数已知且固定的总体中抽取容量为20的样本，分别用样本值依照三种方法分别计算估计值（注意谁也别偷看底牌
），看看哪种方法误差大，哪种方法误差小。一次估计的比较一般不能说明问题，正如低手射击也可能命中10环，高手射击也可能命中9环。如果连续射击1万次，比较总环数（或平均环数），多者一定是高手。同理，如果抽取容量为20的样本
次，分别计算
小者为好。
N=10000; m=5; n=20;
mse1=0; mse2=0; mse3=0;
for k=1:N
x=chi2rnd(m,1,n);
m1=101*x(1)-100*x(2);
m2=median(x);
m3=mean(x);
mes1=mse1+(m1-m)^2;
mes2=mse2+(m2-m)^2;
mes3=mse3+(m3-m)^2;
end
mse1=mes1/N
mse2=mes2/N
mse3=mes3/N
以上程序保存为ex21.m，命令窗口中键入ex21，运算结果为
mse1 =
58.1581
mse2 =
7.8351e-005
mse3 =
9.4469e-006
可见第一个虽为无偏估计量，但MSE极大，表现很差。第二个虽为有偏估计，但表现与第三个相差不多，也是较好的估计量。另外，重复运行ex21，每次的结果是不同的，但优劣表现几乎是一致的。
例2.2 设
为来自
上服从均匀分布的总体的简单随机样本，容易得到未知参数的矩估计量
，最大似然估计量
，试用随机模拟的方法比较两者的优劣。
解 不妨设
，以下程序给出了两者的评价。
s=5;
N=10000;
mse1=0; mse2=0;
for k=1:N
x=5.*rand(1,50);
s1=2*mean(x);
s2=max(x);
mse1=mse1+(s1-s)^2;
mse2=mse2+(s2-s)^2;
end
mse1=mse1/N; mse2=mse2/N;
[mse1,mse2]
参考运行结果： 0.1655 0.0186
本例中，最大似然估计精度较高。注意矩法估计量是无偏估计，本例中最大似然估计量显然是有偏估计，且一定是偏小的。
2.1.2 有效性
对于无偏估计，在
中第二项为零，故比较两个无偏估计量，只需比较各自的方差即可。称方差小的无偏估计量为有效的，当然指的是两个无偏估计相对而言。
2.1.3 相合性
设
为总体未知参数
的估计量，如果对于任意给定的
，总有
（2-2）
则称
为
的相合估计量。又若
（2-3）
则称
为
的强相合估计量。
相合估计的含义是：样本容量越大，估计值越精确。
2.2 区间估计
所谓区间估计，就是用两个估计量
与
估计未知参数
，使得随机区间
能够包含未知参数的概率为指定的
。即：
称满足上述条件的区间
为
的置信区间，称
为置信水平。
称为置信下限，
称为置信上限。
2.2.1 单正态总体均值的置信区间
（1）方差
已知情形
查表求
满足：对于
，
。
对于总体
中的样本
，
的置信区间为：
（2-4）
其中
可以用norminv(1-a /2)计算。
例2.3 设
1.1, 2.2, 3,3, 4.4, 5.5
为来自正态总体
的简单随机样本，求
的置信水平为95%的置信区间。
解 以下用Matlab命令计算：
x=[1.1,2.2,3.3,4.4,5.5];
n=length(x);
m=mean(x);
c=2.3/sqrt(n);
d=c*norminv(0.975);
a=m-d; b=m+d;
[a,b]
计算结果为 1.2840 5.3160
（2）方差
未知情形
对于总体
中的样本
，
的置信区间为：
（2-4）
其中
为自由度
的
分布临界值。
数据同上，继续利用Matlab计算
S=std(x); dd=S*tinv(0.975,4)/sqrt(n);
aa=m-dd; bb=m+dd; [aa,bb]
结果为 1.1404 5.4596
2.2.2 单正态总体方差的置信区间
由于
，查表求临界值
与
，使得
则
的置信区间为
（2-5）
其中查表可用chi2inv进行。数据同上，以下求
的置信区间。
c1=chi2inv(0.025,4);
c2=chi2inv(0.975,4);
T=(n-1)*var(x);
aaa=T/c2; bbb=T/c1;
[aaa,bbb]
计算结果为 1.0859 24.9784
2.2.3 两正态总体均值差的置信区间
（1）方差已知情形
设
，
，两样本独立，此时
的置信区间为
（2-6）
这里我们已经知道
可用norminv(0.975)求得，Matlab计算很容易。
（2）方差未知但相等：
此时
的置信区间为
（2-7）
其中
，而
依照自由度
计算。
2.2.4 两正态总体方差比的置信区间
此时，查自由度为
的
分布临界值表，使得
则
的置信区间为：
（2-7）
例2.4 设两台车床加工同一零件，各加工8件，长度的误差为：
A：-0.12 -0.80 -0.05 -0.04 -0.01 0.05 0.07 0.21
B：-1.50 -0.80 -0.40 -0.10 0.20 0.61 0.82 1.24
求方差比的置信区间。
解 用Matlab计算如下：
x=[-0.12,-0.80,-0.05,-0.04,-0.01,0.05,0.07,0.21];
y=[-1.50,-0.80,-0.40,-0.10,0.20,0.61, 0.82,1.24];
v1=var(x); v2=var(y);
c1=finv(0.025,7,7); c2=finv(0.975,7,7);
a=(v1/v2)/c2; b=(v1/v2)/c1; [a,b]
计算结果为： 0.0229 0.5720
方差比小于1的概率至少达到了95%，说明车床A的精度明显高。
