CAGD: 第十二章 B样条曲面

Posted on 2011-11-02 13:51 白途思阅读(2579) 评论(0) 编辑收藏举报

第十二章 B样条曲面

B样条曲面在CAD/CAM中具有非常重要的地位，它可由B样条曲线通过直积推广而得，正如由Bézier曲线经由直积推广而得Bézier曲面一样。本章主要讨论B样条曲面的性质及其相关的配套技术。

12.1 B样条曲面的定义及性质

给定三维空间个点，参数和的节点矢量、，参数曲面：

（12.1.1）

称为次B样条曲面。式中称为曲面的控制顶点或de Boor点，逐次用线段连接点列中相邻两点组成的空间网格叫做曲面的控制网格或de Boor网格，分别是由节点矢量定义的规范B样条基函数，次数分别为和。

由式（12.1.1）可以看出，次B样条曲面是由片次参数多项式曲面组合而成的多项式样条曲面。其性质可由B样条曲线的性质推广而得。

1. 局部性。次B样条曲面上参数为的点至多与个控制顶点有关，与其他控制顶点无关。移动控制顶点至多影响到定义在区域上的那一部分曲面形状，对曲面的其余部分不产生影响。

2. 参数连性。B样条曲面的每一片在其内部连续，而在节点处则是连续，其中分别是节点的重数。

3. 凸包性。B样条曲面的每一片都位于定义该片曲面的控制顶点，的凸包之中，整个B样条曲面位于定义各片曲面的控制顶点的凸包的并集之中。这样以来，B样条曲面的凸包区域就比同一组顶点定义的Bézier曲面的凸包区域要小，至多相同。

由凸包性质可以导出以下结果：

若控制顶点重合时，由这个控制顶点定义的次B样条曲面片便退化为这个重合点；
若上述的个控制顶点共面，那么所定义的曲面片便是平面片。
4. 磨光性质等。同一组控制顶点定义的B样条曲面，随着次数的升高越来越光滑。
5. 仿射不变性。B样条曲面在仿射变换下不便。
6. 对Bézier曲面的包含性。若，且参数节点矢量选择如下：

则由此确定的B样条曲面就是次Bézier曲面。
7. 等参数线。固定，那么曲线是一条次B样条曲线，其控制顶点为

同理，固定，其参数曲线为一条次B样条曲线，相应的控制顶点为

然而，与Bézier曲面一样，变差缩减性对B样条曲面将不再成立。
12.2 B样条曲面的分类
按照参数节点矢量的不同，可将B样条曲面划分为以下四种类型：
- 均匀B样条曲面（Uniform B-spline Surfaces）。节点矢量满足条件：
，（12.2.1）
，（12.2.2）
- 准均匀B样条曲线（Quasi-Uniform B-spline Surfaces）。节点矢量满足条件：
（12.2.3）
（12.2.4）
- 分片Bézier曲面（Piecewise Bézier Surfaces）。节点矢量满足的条件是：
（12.2.5）
（12.2.6）
选择该类型B样条曲面有一个限制：向控制顶点个数减1必须等于次数的整数倍，即正整数。这样的节点矢量定义了分段Bernstein基函数。同理，向控制顶点个数减1也必须等于次数的整数倍。
非均匀B样条曲面（General Non-Uniform B-spline Surfaces）。对于这种类型的B样条曲面，只要节点矢量满足以下条件即可：
- 节点序列非递减；
- 两端节点的重数次数+1，内节点的重数次数。
12.3 双三次均匀B样条曲面
双三次均匀B样条曲面是最为重要的一种曲面格式。给定控制顶点，其每一片曲面可表示如下：
（12.3.1）
式中，。
，
它是一双三次多项式曲面。这样以来，对于同一张双三次参数曲面而言，我们有三种表示形式：Bézier形式、Hermite形式和B样条形式。因此，三种表示形式之间可以相互转换。
12.4 de Boor-Cox算法
类似于B样条曲线上点的计算，B样条曲面上的点的计算亦可由一系列线性插值来完成，对应的算法称之为de Boor-Cox算法。
对于给定的次B样条曲面

其参数为的点可计算如下。设，：
算法1.
（12.4.1）
其中，。
算法2.
（12.4.2）
当按算法1进行时，先以参数值对控制网格沿向的个多边形执行曲线的de Boor-Cox算法，级递推后，得到沿向的由个顶点构成的中间多边形。再以参数对其执行曲线的de Boor-Cox算法，级递推后，得到曲面上对应的点。算法2的执行次序恰好与算法1相反。
特别，当时，上述两个算法可合并成一双参数线性插值。
算法3.
（12.4.3）
上述算法中的任一种所得结果完全相同，其时间复杂度亦完全一样。
12.5 B样条曲面的偏导矢
B样条曲面的偏导矢的计算也可由B样条曲线导矢计算公式直接推广而得。