第六章样本与抽样分布

Posted on 2011-03-16 16:07 白途思阅读(1246) 评论(0) 编辑收藏举报

§6.1 数理统计的基本概念

一．数理统计研究的对象

例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。

(1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。此问题是求P(X£1000)=F(10000),求F()?

(2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E()?、D()?。

要解决二个问题

1．试验设计抽样方法。

2．数据处理或统计推断。

方法具有"从局部推断总体"的特点。

二.总体（母体）和个体

1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。

说明：

对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。

(2)为研究方便将总体与一个R.V X对应(等同)。

总体中不同的数量指标的全体，即是R.V.X的全部取值。
R.V X的分布即是总体的分布情况。

例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：

1000小时 1100小时 1200小时

20个 30个 50个

X 1000 1100 1200

P 20/100 30/100 50/100

(设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律，

就是总体寿命的分布，反之亦然。

常称总体X，若R.VX～F()，有时也用F()表示一个总体。

(3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。

2.总体的分类

有限总体

无限总体

三．简单随机样本.

1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。

取得子样的过程叫抽样。

样本的双重含义：

(1)随机性：

用(X，X,……X) n维随机向量表示。

X表示第i个被抽到的个体，是随机变量。（i=1,2,…n）

(2)确定性：

(,,……)表示n个实数，即是每个样品X观测值(i=1,2,…n)。

2.定义6.2：设总体为X，若X,X……X相互独立且与X同分布，则称（X,X…X）为来自总体X的容量为n的简单随机样本（简称样本）。

3.已知总体的分布写出子样的分布

(1)已知总体X～F(),则样品X～F() i=1,2…n样本（X,X…X）的联合分布为：

F(,…)=P(X,X…X)

=P(X)

=F()

若总体X～f(),样品X～f() i=1,2……n

样本（X,X……X）的联合密度是：

f(,……)=f()

例:总体X～N(，写出该总体样本（X,X…X）的联合密度。

(2)若总体X是离散型随机变量，一般给出分布律：

P(X=_k) = p_k. k=1,2……

要写出概率函数f()即f()=P(X=_k)= =1,2…..,

例: 总体X～p(l)写出该总体样本(X₁,X₂,…X_n)的联合概率函数

例：总体X～B(1,p)， 0<p<1写出其样本

（X,X,……X）的联合概率函数。

四经验分布函数与直方图

1.样本的经验分布函数

(1)定义：设(₁, ₂,…_n)是来自总体X的一组样本值。将它们按由小到大排序为：

₁^*£₂^*£…£_i^*£…£_n^*对任意的实数，

定义函数：

F_n^* (x)=

则称F()为总体X的经验分布函数。

格列文科定理:

设总体X的分布函数、经验分布函数分别为F()、F_n^*(),则有：

P=1

上式表明，当，概率为1的有F均匀地趋于F()。

2总体的概率密度的估计¾直方图

（第一版） [p143 例6.3]

可以用SAS下的interactive data analysis 模块演示。

五统计量与样本的数字特征

1 定义6.3: 设X₁,X₂,…,X_n是来自总体X的容量为n的样本，g(₁, ₂,…, _n)是定义在Rⁿ或Rⁿ子集上的普通函数。如果g中不含有任何未知量，则称g(X₁,X₂,…,X_n)为统计量。

2.常用的统计量（样本的数字特征）

定义6.4：设X₁,X₂,…,X_n是来自总体X的样本，则称

为样本均值为样本方差

为样本k阶原点矩

为样本k阶中心矩

3.重要性质

定理6.1：设总体X不论服从什么分布，只要其二阶矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б²都存在，则：

(1) E()=E(X)=μ

(2) D( )=D(X)=

(3) E(S²)=D(X)=б²

重要恒等式:

§6.2 抽样分布

统计量是样本的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。

一. 三个重要分布

(一)分布

定义6.5：设X₁，X₂，…X_n相互独立，均服从N(0,1)，则称随机变量服从自由度为n的分布，记为，即：。

2.定理3.8：的概率密度为

其中

定理的说明见P146页。

3.图形.

分布函数图：

data Kf;

do x=0 to 30 by 0.1;

y= PROBCHI(x, 8);

output;

end;

run;

proc gplot data=kf;

plot y*x=1 ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

密度函数图：n=1,5,15

data kf;

do y=0 to 20 by 0.1;

z0=(y**(-0.5)*exp(-y/2))/(2**0.5* GAMMA(0.5));

z1=(y**(1.5)*exp(-y/2))/(2**2.5* GAMMA(2.5));

z2=(y**(6.5)*exp(-y/2))/(2**7.5* GAMMA(7.5));

output;

end;

run;

proc gplot data=kf;

plot z0*y=1 z1*y=1 z2*y=1 /overlay ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

求概率：

自由度为n=25, P{X<34.382}的概率这样求。

data;

p=PROBCHI(34.382,25); put p=;

run;

其它可类推。。

4.性质

①若,则E()=n，D()=2n

②若且它们相互独立,则

③若相互独立,均服从(μ,σ²),则

④总体X服从参数为λ的指数分布；X₁,X₂,…,X_n是来自该总体的样本.则:

(二).t分布

定义6.6:设X～(0,1),Y～²(n)且它们相互独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为t(n),即。

定理3.9:的概率密度为

-∝<t<+∝

性质：

(1)t分布的密度是偶函数,图形为:

n=1, 10, 100时

data student;

do t=-3 to 3 by 0.01;

z1=(gamma(1)*(1+t**2)**(-1))/((3.1415926)**0.5*gamma(0.5));

z10=(gamma(5.5)*(1+t**2/10)**(-5.5))/((10*3.1415926)**0.5*gamma(5));

z100=(gamma(50.5)*(1+t**2/100)**(-50.5))/(100*(3.1415926)**0.5*gamma(50));

output;

end;

run;

proc gplot data=student;

plot z1*t=1 z10*t=1 z100*t=1/ overlay ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

类似(0,1)图形，n越大峰值越高。

分布函数图：n=10.

data t;

do x=-5 to 5 by 0.1;

y=PROBT(x, 10);

output;

end;

run;

proc gplot data=t;

plot y*x=1 ;

run;

(2)可证明

当>45时,t分布与接近。

(3)当n>2时，E(T)=0, （证略）

(三)F分布

定义6.7：设V～²(m),W～²(n),且它们相互独立，则称随机变量服从第一自由度为m、第二自由度为n的F分布，记为F(m,n)，

即

F_m,n～F(m,n)。

定理3.10：F_m,n为服从第一自由度为m，第二自由度为n

的F分布的随机变量, 则其密度函数为

图形：给定m,n可画出一个密度图形

密度函数图：

data f;

%macro a(m,n,x);

data a;

do y=0 to 2 by 0.01;

F&x=(gamma((&m+&n)/2)*(&m/&n)**(&m/2)*y**(&m/2-1))/(gamma(&m/2)*gamma(&n/2)*(1+(&m*y/&n))**(&m+&n)/2);

output;

end;

data F;

merge a f;

%mend a;

%a(10,25,1);

%a(10,5,2);

run;

proc gplot data=f;

plot F1*y=1 F2*y=1 / overlay ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

易推知：

①若F～F(m,n)，则～F(n,m)

②若X～t (n)，则X²～F(1,n)

练习：书上P151有证明。

设，证明：且

(注：表示服从自由为的F分布，表示F分布的分位数。

如：

data;

Q_F=FINV(0.95,12,9); put Q_F= ;

Q_F=FINV(1-0.95,12,9); put Q_F= ;

Run;

二.常用概率分布的分位数

定义6.8：设X～(x),对于给定的正数

(0<<1),若存在一个实数A满足:

P{x>A}=

则称A为X的上侧分位数,简称上分位数；若X服从某分布，称A为某分布的上分位数。

(1) ~

称满足的数为自由度为n的分布的上分位数。

查表①P₂₄₈ n≤45

②n>45时

注意所以类的统计分析软件不是这样定义的，只有一个分位数（实际上是下分位数的定义）

书上P147---148页，

data;

q1= CINV(1-0.005, 10); put q1=;

q2=CINV(1-0.01, 10); put q2=;

q3=CINV(1-.1,10); put q3=;

q4=CINV(1-.1,25); put q4=;

run;

q1=25.188179572

q2=23.209251159

q3=15.987179172

q4=34.381587018

自由度为n=25, P{X<34.382}的概率。

data;

p=PROBCHI(34.382,25); put p=;

run;

其它一些分布分位数求解

如前几章讲过的，对于正态分布有结果：

SAS的两种计算公式：

data;

p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;

p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;

p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;

run;

p1=0.6826894921

p2=0.9544997361

p3=0.9973002039

data;

p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;

p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;

p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;

run;

p1=0.6826894921

p2=0.9544997361

p3=0.9973002039

也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。

Data;

q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;

q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;

q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;

run;

q1=0.9999999999

q2=2

q3=2.9999999959

data;

q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;

q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;

q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;

run;

q1=0.9999999999

q2=2

q3=2.9999999959

注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。

Data;

q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;

q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;

q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;

q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;

run;

q1=1.644853627

q2=1.9599639845

q3=2.326347874

q3=2.5758293035

比如，

=0.95

等的结论也是常用的。几乎都成常识了。

data;

q1=exp(-1.65**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));put q1=;

q2=PROBNORM(-1.65); put q2=;

aa=q1/q2;put aa=;

run;

还有如：

SAS FUNCTIONS: Quantile Functions

BETAINV(p,a,b)	returns a quantile from the beta distribution
CINV(p,df<,nc>)	returns a quantile from the chi-squared distribution
FINV(p,ndf,ddf<,nc>)	returns a quantile from the F distribution
GAMINV(p,a)	returns a quantile from the gamma distribution
PROBIT(p)	returns a quantile from the standard normal distribution
TINV(p,df<,nc>)	returns a quantile from the t distribution