第三章 多维随机变量及其分布1

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X₁(w),X₂(w),…,X_n(w)定义在S上，则称（X₁(w),X₂(w),…,X_n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X₁,X₂,…,X_n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：

1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

 

 

§ 3.1 二维随机变量的分布

 

一．离散型随机变量

1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x_i,y_j), i，j=1,2…,取这些值的概率为

p_ij=P{(X,Y)=(x_i,y_i)}=p{X=x_i,Y=y_i}i,j=1,2,…

——(3.1)

称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：

Y X	y1 y2 … yj …	X的边缘分布率
X1	p11 p12 p1j …	P1·.
X2	p21 p22 p2j …	P2·
M	M M M	M
xi	pi1 pi2 pij …	Pi·
M	M M M	M
Y的边缘分布率	P·1 p·2 M p·j …	1

性质：

(1) p_{ij ³} 0，i, j=1,2,…

(2) =1

2．边缘分布律

    设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为

p_ij= P{X=x_i,Y=y_i} i, j=1,2,…

分量X和Y的分布律分别为

p_i.=P{X=x_i} i=1,2,… 满足①p_i.³0②S p_i.=1

p_.j= p{Y=y_i}j=1,2,… ①p_.j³0②S p_.j=1

我们称p_i.和p_.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系：

p_i.=P{X=x_i}=P{X=x_i, S}=P{X=x_i,(Y=y_j)} =P{X=x_i,Y=y_j}=p_ij (3.4)

同理可得

p_.j =p_ij (3.5)

    例1:一整数X随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。

解：

Y X	1	2		3		X的边缘分布率
1	1/3	0		0		1/3		p1·
2	1/6	1/6		0		1/3		p2·
3	1/9	1/9		1/9		1/3		p3·
Y的边缘分布率	11/18	5/18		1/9		1
	P·1		p·2		p·3

二．联合分布函数与边缘分布函数

1．定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令

F(x,y)=P{X£x,Y£y} (3.7)

则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。

2．F(x,y)的性质：

性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x₁<x₂,对任意的实数y，则有 F(x₁,y)£F(x₂,y)；

若y₁<y₂,对任意的实数x，则有 F(x,y₁)£F(x,y₂)。

性质2 对于任意的实数x,y,均有

0£F(x,y)£1, F(x,y)=0,

F(x,y)=0, F(x,y)=1。

性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x₀和y₀，均有

F(x,y)=F(x₀,y),

F(x,y)=F(x,y₀)。

性质4 若x₁<x₂, y₁<y₂, 则

F(x_2,,y₂)-F(x₂,y₁) -F(x₁,y₂)+F(x₁,y₁)³0

    （X,Y）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为：

F(x_2,,y₂)-F(x₂,y₁)-F(x₁,y₂)+F(x₁,y₁)

=P{x₁<X£x₂,y₁<Y£y₂}

例 2 P71,

照书上讲。

3．边缘分布

(X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为F_X(x)和F_Y(y)，称它们为X，Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：

F_X(x)=P{X£x}=P{X£x,-<Y<+}=F(x,+)，

F_Y(y)=P{Y£y}=P{-<X<+,Y£y}=F(+,y)。

例2：(第一版)设

,

求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；

(2)P(1x2,-1y3)。

(3)P(X>2,Y>3)=1- P(X2,Y3)?