第六讲 Jordon 标准形的变换与应用
- Jordon标准形变换矩阵的求法
将P按J的结构写成列块的形式
求解r个矩阵方程 
将r个
合成变换矩阵 
★ 关于方程
的求解
两种具体做法: (ⅰ) 按照
的顺序求解，即先求出特征向量
，然后由后续方程求出
、
、…；（ⅱ）先求
的特征向量
，然后直接得到
。
前一做法由于
为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问题，故各步之间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…，直至最后一步才能完全确定一些待定系数；而后一做法仅出现一次求解方程，其余为直接赋值，无上述问题。但又可能导致低阶
出现零向量的问题。
由于 
故
应满足：
但
同一特征值可能出现在不同的Jordan块中，对于这种情况，按各Jordan块阶数高低一次进行处理，高阶先处理，低阶后处理，同阶同时处理。
- 最高阶（没有属于同一特征值的Jordan块同阶）可按下述方法求出
，即使
但
的
作为
。
然后由方程
依次求出
直至
且j等于下一个属于同一特征值的Jordan块的阶数。
- 对于上述新Jordan块，它的
不仅要考虑到满足
但
，
而且还应与前述
线性无关。
- 其它属于同一特征值的Jordan块处理时，按照（2）的原则处理即可。
- 出现多个属于同一特征值的Jordan块同阶时，还应考虑线性无关问题。
例：求
的Jordan标准形及其变换矩阵。
[解]：上一讲已求出其Jordan标准形，也可按如下方法求得。
(
)可采用初等变换化为
按此得出Jordon标准形
同时可见
,即
匀为三重特征值.
下面求变换矩阵P
（1）
的Jordon矩阵仅有一块，
先求
，
应满足 
求
设
其通解为
其通解为
可取
＝
（2）对
存在两个Jordan块，
，
，
分别对应
，
从
入手：
，
＝
＝
取
：
与
应线性无关，可取
＝
（3）合成变换矩阵
存在
可以验证: 
二、 Jordan标准形的幂及多项式
, 即
,
亦为类似的上三角形条带矩阵,在与主对角线平行的斜线上各元素相等. 其中
第一行的元素依次为
设有多项式
.则
又 
……
故
这就是说, 
仍为上三角矩阵, 在与主对角线平行的斜线上各元素均相等, 而
其第一行元素依次为
若
, 则
计算十分方便,无需再采用矩阵乘积.
作业: P107 11
