第四讲 矩阵的对角化
基
元素 | 坐标向量 | |
加法 | 元素加法 | 坐标向量的加法 |
数乘 | 数与元素"乘" | 数与坐标向量相乘 |
线性变换及其作用 | 对应关系 | 矩阵与坐标列向量的乘积 |
对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程
时，将矩阵
对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？
- 特征征值与特征向量
1. 定义：对
阶方阵
，若存在数
，及非零向量（列向量）
，使得
,则称
为
的特征值，
为
的属于特征值
的特征向量。
特征值不唯一
特征向量非零
有非零解，则
，称
为
的多项式。
[例1]
，求其特征值和特征向量。
[解] 
属于特征值
的特征向量 
可取基础解系为 
属于
的特征向量 
可取基础解系为 
2. 矩阵的迹与行列式
所有对角元素之和
3. 两个定理
- 设
、
分别为
和
阶矩阵，则
（2）sylvster定理：设
、
分别为
和
阶矩阵，则
即：AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
- 矩阵对角化的充要条件
定理：
阶方阵
可通过相似变换对角化的充要条件是它具有
个线性无关的特征向量。
[证明] 充分性：已知
具有
个线性无关的特征向量
，则
线性无关，故
为满秩矩阵，
令
，则有
必要性：已知存在可逆方阵
，使
将
写成列向量
，
为
维列向量
可见，
为
的特征值，
为
的特征向量，
具有
个线性无关的特征向量。
推论：
阶方阵有
个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件）
- 内积空间
1. Euclid空间
设
是实线性空间（
），对于
中任何两个元素
、
均按某一规则存在一个实数与之对应，记为
，若它满足
（1）交换律 
（2）分配律 
（3）齐次律 
（4）非负性 
，当且仅当
时，
则称
为
与
的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid空间。
对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以
维向量空间为例：
，
可定义内积
，它满足内积的四条性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
当且仅当
时，
该内积可写为：
，其中
更一般的，对实对称正定矩阵
，
也满足内积的定义。
正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于0
2. 酉空间：
设
是复线性空间（
），对于
中任何两个元素
、
均按某一规则存在一个复数与之对应，记为
，若它满足
（1）交换律 
（2）分配律 
（3）齐次律 
or 
（4）非负性 
，当且仅当
时，
则称
为
与
的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。
以
维向量空间为例，
为厄米（
）正定（
）矩阵，
较常见的比如
，
最简单：实 
复 
3. 正交性：若
，则称
与
正交。
与
的夹角：
，
称为
与
的夹角。
4. Gram-Schmidt正交化手续
设
为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操作（正交规范化或正交单位化）：
选择合适的
使
与
正交，
选择
、
使
与
和
均正交
一般的，
成为一组正交归一化向量：
若
为一组基元素，则
成为标准正交基。
作业：P106－107 1(1)(2),2,4,5,10,11
