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矩阵理论 第三讲 线性变换及其矩阵

Posted on 2010-09-05 19:21  白途思  阅读(1850)  评论(0编辑  收藏  举报

第三讲 线性变换及其矩阵

一、线性变换及其运算

定义:设V是数域K上的线性空间,TV到自身的一个映射,使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应,则称TV的一个变换算子,记为

Tx=y

yx在变换T下的象,xy的原象。

若变化T还满足

T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,yV, k,lK

T线性变换

[例1] 二维实向量空间,将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。

[证明]

可见该操作T为变换,下面证明其为线性变换

k,l

    T是线性变换。

[例2] 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间,其基可选为,微分算子上的一个线性变换。

[证明] 显然而言是变换,

要证明满足线性变换的条件

k,l

    上的线性变换。

2. 性质

  1. 线性变换把零元素仍变为零元素
  2. 负元素的象为原来元素的象的负元素
  3. 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组

[证明] 线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)

(1)T(0)=T(0x)=0(Tx)=0

(2)T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)

(3)元素组线性相关,即存在一组不全为零的数 使

    线性相关。

[得证]

应该注意,线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的,变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组,则称之为满秩的线性变换,其变换矩阵为满秩矩阵。

3. 线性变换的运算

  1. 恒等变换
  2. 零变换
  3. 变换的相等:的两个线性变换,,均有,则称
  4. 线性变换的和+
  5. 线性变换的数乘

    负变换:

  6. 线性变换的乘积
  7. 逆变换,若存在线性变换使得,则称的逆变换
  8. 线性变换的多项式:

,并规定

需要说明的是:

1)也称为单位变换,它的矩阵表示为单位矩阵

2)对应的矩阵表示为零矩阵;

3)和矩阵的乘积一样,线性变换的乘积不满足交换律;

4)不是所有的变换都具有逆变换,只有满秩变换才有逆变换,

5)恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换(若存在)均为线性变换。

 

二、线性变换的矩阵表示

线性变换用矩阵表示,将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。

是线性空间的一个线性变换,且的一个基,n,存在唯一的坐标表示

因此,要确定线性变换,只需确定基元素在该变换下的象就可以了。

对于任意元素,在该基下,变换后的坐标表示为

同时

对比可知:

即:

  1. 定义:把称为在基下的矩阵。
  2. 定理:设的一个基,在该基下的矩阵分别为。则有

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    推论1. 设为纯量tm次多项式,为线性空间的一个线性变换,且在的基下的矩阵为,则

    其中

    推论2. 设线性变换的基下的矩阵为,元素在该基下的坐标为,则在该基下的坐标满足

3.相似矩阵

的两个基的矩阵分别为,且,则

为相似矩阵。

[证明]

定理:阶方阵相似的充要条件是为同一线性变换在不同基下的矩阵。

[证明] 必要性:已知相似,即存在可逆矩阵使

选取一个基,定义

考虑可作为基,且

为同一线性变换在不同基下的矩阵。

充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。

 

三、线性变换及矩阵的值域和核

  1. 定义:设是线性空间的线性变换,称

的值域;

称为的核。

均为的子空间。

阶矩阵,称

为矩阵的值域;

的核。

称为的秩和零度;

称为的秩和零度。

  1. 定理:(1)

(2)

(3)的列数。

是线性变换的矩阵,则

==

 

 

作业:P77-78,1、26、7

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