第三讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
定义:设V是数域K上的线性空间,T是V到自身的一个映射,使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应,则称T为V的一个变换或算子,记为
Tx=y
称y为x在变换T下的象,x为y的原象。
若变化T还满足
T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,yV, k,lK
称T为线性变换。
[例1] 二维实向量空间,将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。
[证明]
可见该操作T为变换,下面证明其为线性变换
,k,l
T是线性变换。
[例2] 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间,其基可选为,微分算子是上的一个线性变换。
[证明] 显然对而言是变换,
要证明满足线性变换的条件
,k,l
是上的线性变换。
2. 性质
- 线性变换把零元素仍变为零元素
- 负元素的象为原来元素的象的负元素
- 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组
[证明] 线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)
(1)T(0)=T(0x)=0(Tx)=0
(2)T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)
(3)元素组线性相关,即存在一组不全为零的数 使
则
线性相关。
[得证]
应该注意,线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的,变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组,则称之为满秩的线性变换,其变换矩阵为满秩矩阵。
3. 线性变换的运算
- 恒等变换:
- 零变换:
- 变换的相等:、是的两个线性变换,,均有,则称=
- 线性变换的和+:,
- 线性变换的数乘:,
负变换:
- 线性变换的乘积:,
- 逆变换:,若存在线性变换使得,则称为的逆变换=
- 线性变换的多项式:
,并规定
需要说明的是:
1)也称为单位变换,它的矩阵表示为单位矩阵;
2)对应的矩阵表示为零矩阵;
3)和矩阵的乘积一样,线性变换的乘积不满足交换律;
4)不是所有的变换都具有逆变换,只有满秩变换才有逆变换,;
5)恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换(若存在)均为线性变换。
二、线性变换的矩阵表示
线性变换用矩阵表示,将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。
设是线性空间的一个线性变换,且是的一个基,n,存在唯一的坐标表示
=
因此,要确定线性变换,只需确定基元素在该变换下的象就可以了。
对于任意元素,在该基下,变换后的坐标表示为
同时
对比可知:
=
即:
- 定义:把称为在基下的矩阵。
- 定理:设是的一个基,、在该基下的矩阵分别为、。则有
(1)
(2)
(3)
(4)
推论1. 设为纯量t的m次多项式,为线性空间的一个线性变换,且在的基下的矩阵为,则
其中
推论2. 设线性变换在的基下的矩阵为,元素在该基下的坐标为,则在该基下的坐标满足
=
3.相似矩阵
设在的两个基及的矩阵分别为和,且=,则
即和为相似矩阵。
[证明]
即
定理:阶方阵和相似的充要条件是和为同一线性变换在不同基下的矩阵。
[证明] 必要性:已知和相似,即存在可逆矩阵使
选取一个基,定义
考虑可作为基,且
和为同一线性变换在不同基下的矩阵。
充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。
三、线性变换及矩阵的值域和核
- 定义:设是线性空间的线性变换,称
为的值域;
称为的核。
和均为的子空间。
设为阶矩阵,称
为矩阵的值域;
为的核。
、称为的秩和零度;
、称为的秩和零度。
- 定理:(1)
(2)
(3),为的列数。
若是线性变换的矩阵,则
=,=
作业:P77-78,1、26、7