§4 二次曲线的直径
一 定义：
引理：二次曲线的沿方向X：Y的所有弦的中点轨迹是一直线：
X
（x,y）+Y
（x,y）=0 即
（
X+
Y）x+（
X+
Y）y+
X+
Y=0 （1）
事实上，任取沿X：Y的弦的中点
（
，
），则该弦所在直线l：
，弦的端点
（
+
X ，
+
Y） ，i=1，2 中
，
应满足
+
=0 ，
∴X
（
，
）+Y
（
，
）=0
反之，若
（
，
）的坐标满足上述等式，任取过
且沿X：Y的弦
，
所在直线 l：
若令
（
+
X，
+
Y），i=1，2，则
+
=0
∴
的中点坐标
即
是弦
的中点，最后证（1）表示一直线，因若不然
（
X+
Y）X+（
X+
Y）Y=0
即 
X²+2
XY+
Y²=0 这与X：Y为非渐近方向不符。
定义：称方程（1）所表示的直线为二次曲线F（x，y）=0的共轭于方向X：Y的直径。
注：1°上述定义中的X：Y即可以为非渐近方向，也可以为渐近方向。当X：Y为非渐近方向时，直径（1）有明确的几何意义——平行于X：Y的所有弦的中点轨迹；当X：Y为渐近方向时，由于X：Y=-（
X+
Y）：(
X+
Y）
∴直径（1）沿渐近方向X：Y
2°当二次曲线有中心时，则直径（1）过所有中心，∴线心曲线仅有一直径。
3°渐近线是直径的特例
4°中心二次曲线的所有直径形成的以中心为束心的有心直线束；无心二次曲线的所有直径形成平行于渐近方向的平行直线束。
事实上，由于直径（1）的方程为 X
（x，y）+Y
（x,y）=0
当曲线为中心曲线时，二直线
（x,y）=0与
（x,y）=0有唯一交点。而对无心曲线，二直线
（x,y）=0与
（x,y）=0为平行（非重合）直线，且其方向
X：Y=-
：
是渐近方向。
例：求二次曲线x²-2xy+y²+2x-2y=0的共轭于非渐近方向X：Y的直径。
解：略。
二 共轭方向与共轭直径：
定义1：对二次曲线F（x,y）=0，若二方向X：Y与X′：Y′满足
X′：Y′=-（
X+
Y）：（
X+
Y）
（等价地：X：Y=-（
X′+
Y′）：（
X′+
Y′））
则称X：Y与X′：Y′是一对共轭方向
注：1°共轭于方向X：Y的直径（1）是沿X：Y的共轭方向的；
2°实方向的共轭方向仍是实的，共轭于实方向的直径（1）也是实的；
3°对于中心二次曲线，非渐近方向的共轭方向依然是非渐近方向；对于非中心二次曲线，任意方向的共轭方向均为渐近方向
事实上，1°，2°显然，对于3°，设X：Y的共轭方向为X′：Y′，则
Φ（X′，Y′）=
[
（
X+
Y）
-2
（
X+
Y）（
X+
Y）+
（
X+
Y）
]
=
Φ（X，Y）
定义2：对中心二次曲线F（x,y）=0，沿一对共轭方向的二直线称为一对共轭直径。
推论：斜率为k，k′的一对直径为共轭直径〈═〉k，k′满足
kk′+
（k+k′）
=0
事实上，设二直径的方向为X：Y喝X′：Y′，则二直径共轭〈═〉
X′：Y′=-（
X+
Y）：（
X+
Y）
〈═〉（
X+
Y）X′+（
X+
Y）Y′=0
〈═〉
XX′+
（X′Y+XY′）+
YY′=0
〈═〉
+
（
）+
=0
〈═〉
kk′+
（k+k′）+
=0
例：考察椭圆、双曲线共轭直径的分布情况
解：对于椭圆
，其一对共轭直径的斜率k，k′应满足
即 kk′=-
<0
可见一对共轭直径分别在一，二象限，而且当一直径的斜率k（>0）逐渐扩大时，
其共轭直径的斜率k′（<0）亦逐渐扩大，亦即当直径I（k>0）按逆时针方向旋转
时，其共轭直径II（k′<0）也按逆时针方向旋转。
对双曲线
，其一对共轭直径的斜率k，k′应满足
即
kk′=
>0
可见一对共轭直径在同在一象限内，且因0<k<
时，k′>
，∴一对共轭直径分别在渐近线的两侧，当直径I（k<
）按逆时针靠近渐近线时，其共轭直径
II（k′>
）则按顺时针靠近渐近线。
