§2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线
一 渐近方向：
定义：若一方向X：Y（即与矢量{X，Y}平行的方向）满足Φ（X，Y）=0，则称其为二次
曲线F（x,y）=0的一渐近方向。
存在性：
命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地
（i）当
=
>0时，曲线有二共轭复渐近方向；
（ii）当
<0时，曲线有二不同实渐近方向；
（iii）当
=0时，曲线有二相同实渐近方向。
事实上，X：Y为渐近方向〈═〉Φ（X，Y）=0〈═〉
X²+2
XY+
Y²=0
〈═〉X：Y=（-
±
）：
可见，对椭圆
， ∵
=
=
>0
∴它有二共轭复渐近方向；对双曲线
，
=-
<0，
∴它有二不同实渐近方向；对抛物线y²=2px，
=
=0
∴它有二相同的实渐近方向；由此，称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线；有二不同实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线；有二相同实渐近方向的二次曲线为抛物型曲线。
二 中心：
1、定义：二次曲线上任意两点间的连接线段
，若不沿渐近方向，则称其为弦。若存在一点C，使得过C的任一弦均被C平分，则称C为二次曲线的中心。
显然：二次曲线的中心正是它的对成中心。
2、求法：
定理1：点C（
，
）是二次曲线F（x,y）=0之中心〈═〉
，
是方程组
（*） 的解
证："═〉"设C（
，
）是中心，而
是过C的任一弦，该弦所在直线
l：
， Φ（X，Y）≠0
令
（
+
X ，
+
Y），i=1，2，则
，
是方程
Φ（X，Y）t²+2[
（
，
）X+
（
，
）Y]t+F（
，
）=0的根
而
=
=
+
∴
+
=0
∴
（
，
）X+
（
，
）Y=0，由弦
的任意性
∴
（
，
）=
（
，
）=0
"〈═"若C（
，
）的坐标满足
（
，
）=
（
，
）=0 过C任取曲线的弦
，其方向为X：Y，从而若令
（
+t
X，
+t
Y），i=1，2，则
，
应是（*）二个根。
∵
（
，
）X+
（
，
）Y=0 ∴
+
=0
∵
的中点坐标为
即C（
，
）是弦
的中点 ∴C为中心
注：若一条二次曲线有唯一中心，则称其为中心二次曲线；没有中心的二次曲线称为无心二次曲线；有不止一个中心的二次曲线称为线性二次曲线，
关于上述三种二次曲线的判别标准，我们有
定理2：
（i）二次曲线为中心二次曲线 〈═〉
≠0
（ii）二次曲线为无心二次曲线 〈═〉
=0，但
：
≠
：
（iii）二次曲线为线性二次曲线 〈═〉
=0且
：
=
：
事实上，（i）二次曲线为中心二次曲线〈═〉（*）有唯一解〈═〉
≠0
（ii）二次曲线为无心二次曲线〈═〉（*）无解〈═〉
秩
≠秩
〈═〉
=0但
≠0〈═〉
=0且
：
≠
：
（vi）二次曲线为线性二次曲线〈═〉（*）有不止一个解〈═〉I2=0且
：
=
：
注：对线性二次曲线，由于
：
=
：
=
：
∴方程组（*）同解于
（x,y）≡
x+
y+
=0 即线性二次曲线的中心充满直线
x²+
y+
=0——中心直线
三 渐近线：
定义：过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。
可见：椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线；双曲型二次曲线有二不同实渐近线；而对抛物型二次曲线，若其为无心的，则其没有渐近先，若其为线性的，则由于其渐近方向为X：Y=-
：
，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。
求法：
法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。
法2：求出中心C（
，
），对渐近线上任一点M（x，y），则（x-
）：（y-
）为渐近方向， ∴Φ（x-
，y-
）=0
性质：
命题：二次曲线的渐近线或者与曲线不交，或者整个位于曲线上，事实上，设
l：
为渐近线，其中（
，
）为中心，X：Y为渐近方向
∴Φ（X，Y）=0且
（
，
）=
（
，
）=0，∴若F（
，
）≠0，
则l与曲线不变，若F（
，
）=0，则l整个在曲线上。
