§6 抛物面
例 ：
面上抛物线
绕
轴旋转，所得旋转面为
，即 
。
此曲面称为旋转抛物面，将该曲面推广便有：
一 椭圆抛物面：
1、定义：在直角系下，由方程 
（a,b>0） （1）所表示的图形称为椭圆抛物面；而（1）称为椭圆抛物面的标准方程。
注：在直角系下，由方程
或
所表示的图形也是椭圆抛物面。
2、性质和形状：
（i）对称性：椭圆抛物面（1）关于z轴，
面，
面对称，在ch6中，我们将会知道椭圆抛物面无对称中心。
（ii）有界性：由（1）知z=
≧0，∴椭圆抛物面（1）位于
面的上方，且为无界的。
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线
（1）与三坐标轴均交于原点——顶点； （1）与三坐标面交于
，
，
，亦即
（2），
（3），
（4）
（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z轴正向。对称轴均为z轴；而（4）为原点。
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
首先，（1）与平行于
面的平面交于
，即
（
） （5）
当
时，（5）为原点；
当
时，（5）为椭圆，其顶点为（0，±b
，k）∈（2）, （±a
，0，k）∈（3）.
可见，椭圆抛物面（1）是由
面上方的一系列"平行"椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线（2）和（3）上变化。
(图4.6)
另外，椭圆抛物面（1）与平行于
面的平面交于
，即
（6）
对
，（6）均为全等的抛物线，其顶点（
，0，
）∈（3）对称轴∥z轴，开口方向朝z轴正向（与（3）的开口方向一致）
最后，若用平行于
面的平面去截（1），其截线情况于上类似，由此可得椭圆抛物面的几何特征如下：
椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向一致，且它们所在平面始终保持垂直(如图4.6)。
二 双曲抛物面：
1、定义：在直角系下，由方程 
（a,b>0） （1）所表示的图形称为双曲抛物面；而（1）称为双曲抛物面的标准方程。
注：在直角系下，由方程
或
所表示的图形也是双曲抛物面。
2、性质和形状：
（i）对称性：双曲抛物面（1）关于z轴，
面，
面对称，在ch6中，我们将会知道双曲抛物面无对称中心。
（ii）有界性：由（1）知双曲抛物面（1）为无界的。
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线
（1）与三坐标轴均交于原点——顶点； （1）与三坐标面交于
，
，
，亦即
（2），
（3），
（4）
（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向一指z轴正向，一朝z轴负向。对称轴均为z轴；而（4）为二相交直线。
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
首先，（1）与平行于
面的平面交于
，即
（5）
当
时，（5）为（4）；
当
时，（5）为双曲线，其顶点为（±a
，0，k）∈（3）.
当
时，（5）仍为双曲线，其顶点为（0，±
， k）∈（2）
可见，双曲抛物面（1）是平行于
面的一系列"平行"双曲线构成，这些双曲线的顶点在抛物线（2）和（3）上变化。
另外，双曲抛物面（1）与平行于
面的平面交于
，即
（6）
对
，（6）均为全等的抛物线，其顶点（k，0，
）∈（3）对称轴∥z轴，开口方向朝z轴负向（与（3）的开口方向相反）
最后，若用平行于
面的平面去截（1），其截线情况于上类似，由此可得双曲抛物面的几何特征如下：
双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向相反，且它们所在平面始终保持垂直(如图4.7)。
(图4.7)
