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3§8 平面束与平面把

Posted on 2010-09-04 13:43  白途思  阅读(594)  评论(0编辑  收藏  举报

§8 平面束与平面把

 

平面束

1定义:空间中过一定直线的所有平面的集合称为有轴平面束,称为这平面束的轴;空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束。

有轴、平行平面束统称为平面束。

2 方程

定理1:对任一对确定的不全为0的实数λ,μ,方程

λ(x+y+z+)+μ(x+y+z+)=0 (1)

表示过二相交平面

x+y+z+=0 , i=1,2

的交线的一个平面;反之,对过的任一平面π,必存在不全为0的实数λ,μ,使π的方程为(1)

证明:先证(1)表示过的平面。

(1)即为(λ)x+(λ)y+(λ)z+λ=0

我们断言:上式中x,y,z的系数不全为0,其实若不然,则有

-μ:λ===

这与相交矛盾 ∴(1)表示一平面π,又显然π过的交线l。

次证:对的平面π,必存在不全为0的λ,μ,使π的方程为(1)

首先,若π≡,取λ=1,μ=0,若π≡,取λ=0,μ=1,

一般地,若π≠,i=1,2 取π上一点A(α,β,γ)l。

于是,(α+β+γ+)(α+β+γ+)=0

即 λ:μ=-(α+β+γ+):(α+β+γ+

不妨取 λ=-(α+β+γ+),μ=α+β+γ+

则 (1)便表示过的平面,又显示该平面过A,∴这平面就是π

:求过二平面4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线,且过原点的平面的方程

:略。

定理2:设在方程(1)中,,则对任意一对满足-μ:λ≠的不全为0的实数λ,μ,(1)表示平行于的一个平面π;反之,对任意平行于的平面π,必存在满足-μ:λ≠的不全为0的实数λ,μ,使π的方程为(1)

证明:先证,对任意一对满足-μ:λ≠的不全为0的实数λ,μ(1)

表示平行于的平面π。

由于-μ:λ≠, ∴λ≠0,从而

(1)表示一平面π,又

===k

则(λ):=(λ):=(λ):=λk+μ

∴π∥

再证:对任意平行于的平面π,必存在不全为0的且满足

-μ:λ≠的λ,μ,使π的方程为(1)

首先,若π≡,取λ=1,μ=0;若π≡,取λ=0,μ=1显然此时

-μ:λ≠要么同时为0,要么同时非0)

一般地,若π≠,i=1,2 取π上一点A(α,β,γ)π,同定理1的证明类似。取λ,μ满足

λ:μ=-(α+β+γ+):(α+β+γ+

今验证 -μ:λ≠ 其实,若不然,则

α+β+γ+):(α+β+γ+)=

α+β+γ+)-α+β+γ+)=0

-)β+(-)γ+-=0

===

这与已知不符, ∴-μ:μ≠,即(1)表示一平行于的平面,

又显然A(α,β,γ)在该平面上, ∴这平面正是π

定理3:设平面π:Ax+By+Cz+D=0,则π′∥π〈═〉π′的方程可表为

Ax+By+Cz+Dλ=0

事实上,"〈═"显然

"═〉"若π′∥π,且设π′:A′x+B′y+C′z+D′=0

则 A′:A=B′:B=C′:C=k

∴π′:kAx+kBy+kCz+D′=0

即 π′:Ax+By+Cz+=0

:求与平面3x+y-z+4=0平行,且在z轴的截距等于-2的平面的方程。

:略。

 

面地(平面汇)

1、定义:空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把,——把心

2、方程

定理1:对于任意不全为0的A,B,C,方程

A(x-)+B(y-)+C(z-)=0 (2)

表示过)的一个平面π,反之,对过的任一平面π必存在不全为0的A,B,C,使其方程为 (2)

更一般地,我们有

定理2:对任意不全为0的λ,μ,ν,方程

λ(x+y+z+)+μ(x+y+z+)+ν(x+y+z+

=0 (3)

表示过三平面 x+y+z+=0, i=1,2,3

(唯一)交点)的一个平面π;反之,对任意过的平面π,必存在不全为0的λ,μ,ν,使π的方程为(3)。

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