§8 平面束与平面把
一 平面束:
1定义:空间中过一定直线的所有平面的集合称为有轴平面束,称为这平面束的轴;空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束。
有轴、平行平面束统称为平面束。
2 方程:
定理1:对任一对确定的不全为0的实数λ,μ,方程
λ(x+y+z+)+μ(x+y+z+)=0 (1)
表示过二相交平面
:x+y+z+=0 , i=1,2
的交线的一个平面;反之,对过的任一平面π,必存在不全为0的实数λ,μ,使π的方程为(1)
证明:先证(1)表示过的平面。
(1)即为(λ+μ)x+(λ+μ)y+(λ+μ)z+λ+μ=0
我们断言:上式中x,y,z的系数不全为0,其实若不然,则有
-μ:λ=:=:=:
这与与相交矛盾 ∴(1)表示一平面π,又显然π过与的交线l。
次证:对过的平面π,必存在不全为0的λ,μ,使π的方程为(1)
首先,若π≡,取λ=1,μ=0,若π≡,取λ=0,μ=1,
一般地,若π≠,i=1,2 取π上一点A(α,β,γ)l。
于是,(α+β+γ+)(α+β+γ+)=0
即 λ:μ=-(α+β+γ+):(α+β+γ+)
不妨取 λ=-(α+β+γ+),μ=α+β+γ+
则 (1)便表示过的平面,又显示该平面过A,∴这平面就是π
例:求过二平面4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线,且过原点的平面的方程
解:略。
定理2:设在方程(1)中,∥,则对任意一对满足-μ:λ≠:的不全为0的实数λ,μ,(1)表示平行于的一个平面π;反之,对任意平行于的平面π,必存在满足-μ:λ≠:的不全为0的实数λ,μ,使π的方程为(1)
证明:先证,对任意一对满足-μ:λ≠:的不全为0的实数λ,μ(1)
表示平行于的平面π。
由于-μ:λ≠:, ∴λ+μ≠0,从而
(1)表示一平面π,又
:=:=:=k
则(λ+μ):=(λ+μ):=(λ+μ):=λk+μ
∴π∥∥
再证:对任意平行于的平面π,必存在不全为0的且满足
-μ:λ≠:的λ,μ,使π的方程为(1)
首先,若π≡,取λ=1,μ=0;若π≡,取λ=0,μ=1显然此时
-μ:λ≠:(,要么同时为0,要么同时非0)
一般地,若π≠,i=1,2 取π上一点A(α,β,γ)π,同定理1的证明类似。取λ,μ满足
λ:μ=-(α+β+γ+):(α+β+γ+)
今验证 -μ:λ≠: 其实,若不然,则
(α+β+γ+):(α+β+γ+)=:
即 (α+β+γ+)-(α+β+γ+)=0
(-)β+(-)γ+-=0
而:=:=: ∴:=: ∴≡
这与已知不符, ∴-μ:μ≠:,即(1)表示一平行于的平面,
又显然A(α,β,γ)在该平面上, ∴这平面正是π
定理3:设平面π:Ax+By+Cz+D=0,则π′∥π〈═〉π′的方程可表为
Ax+By+Cz+Dλ=0
事实上,"〈═"显然
"═〉"若π′∥π,且设π′:A′x+B′y+C′z+D′=0
则 A′:A=B′:B=C′:C=k
∴π′:kAx+kBy+kCz+D′=0
即 π′:Ax+By+Cz+=0
例:求与平面3x+y-z+4=0平行,且在z轴的截距等于-2的平面的方程。
解:略。
二 平面地(平面汇)
1、定义:空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把,——把心
2、方程:
定理1:对于任意不全为0的A,B,C,方程
A(x-)+B(y-)+C(z-)=0 (2)
表示过(,,)的一个平面π,反之,对过的任一平面π必存在不全为0的A,B,C,使其方程为 (2)
更一般地,我们有
定理2:对任意不全为0的λ,μ,ν,方程
λ(x+y+z+)+μ(x+y+z+)+ν(x+y+z+)
=0 (3)
表示过三平面 :x+y+z+=0, i=1,2,3
(唯一)交点(,,)的一个平面π;反之,对任意过的平面π,必存在不全为0的λ,μ,ν,使π的方程为(3)。