3§7 直线与平面的位置关系

§7 直线与平面的位置关系

 

一 各种位置关系的解析条件：

设直线L： 与平面π：Ax+By+Cz+D=0

则 L与π相交〈═〉（，,）=Lπ〈═〉唯一的，使

A（+X）+B（+Y）+C（+Z）=0〈═〉AX+BY+CZ≠0

∴有 L与π相交〈═〉AX+BY+CZ≠0；

L∥π〈═〉不存在唯一的t使（+tX）+B（+tY）+C（+tZ）+D=0

〈═〉AX+BY+CZ=0

L在π上〈═〉存在无穷多个t使A（+tX）+B（+tY）+C（+tZ）+D=0

〈═〉AX+BY+CZ=A+B+C+D=0

推论：L∥π但L不在π上〈═〉AX+BY+CZ=0，但A+B+C≠0

 

二 直线与平面的交角：

设在直角系下，直线L与平面π的方程如上，则V{X，Y，Z}和n{A，B，C}分别是l的方向矢及π的法线矢，如图

(图3.6)

令∠（L，π）=，∠（v，n）=θ 则

    =θ或 =θ-（θ为锐角）

∴ sin=±cosθ=∣cosθ∣==

例：求过点（-1，2，-3），平行于平面6x-2y-3z+1=0且与直线相交的直线的方程。

解：略。