第十八章 机械振动基础

第十八章 机械振动基础

教学目标：

1. 掌握建立各种类型但自由度系统振动（自由振动，阻尼振动，强迫振动）微分方程的方法及其解的表达式。理解恢复力、阻尼力和激振力的概念。
2. 对各种类型振动规律有清晰的理解，会计算有关的物理量。

深刻理解自由振动的固有频率（或周期）、振幅、初相位角的概念。会应用各种方法求固有频率。

了解阻尼对自由振动的影响。

深刻理解受迫振动的激振力、幅频曲线、共振和放大稀疏的概念。

1. 懂得如何利用振动现象，以及消振和隔振的原理和方法。

本章重点：

单自由度系统自由振动，自由振动的固有频率和求固有频率的方法。

单自由度系统受迫振动，受迫振动的幅频曲线、共振现象。

本章难点：

衰减振动和有阻尼的受迫振动。

 

1. 振动概述

振动：振子在平衡位置附近的往复运动

振动的力学模型：

1. 电动机及其支承梁组成的系统（图18- 1）

图18-1a 图18-1b

 

1. 汽车系统（图18-2）

 

图18-2a 图18-2b

 

1. 单自由度的自由振动
   1. 质点的自由振动微分方程及其解

      设质点的质量为m，弹簧的刚性系数为c，原长为（图18- 3）

       

      

      图18-3a

      

      图18-3b

      研究质点

      弹簧力

      静变形

      有

      令

      得 (18.1)

      其解为 （18.2）

   2. 自由振动的特点
      1. 固有频率

         周期T： (18.3)

         频率：

         固有频率: （圆频率） (18.4)

         将代入，得

      2. 振幅与初相位

         振幅：，相位：，初相位：

         由初始条件求和

         初始条件

         代入式(c)

         解得（18.5）

   3. 其它类型的单自由度振动系统
      1. 振动系统（图18-4）

      

      图18-4

      设圆盘对中心轴的转动惯量为，轴的扭转刚度为

      

      (18.6)

      固有频率

      1. 微摆动系统（图18-5）

      

      图18-5

      设复摆的质量为m，对转轴的转动惯量为，

      

      微运动，有 有

      固有频率

   4. 举例
      1. 设两弹簧的刚性系数分别为和，振动体的质量为m，试分别求两弹簧并联和串联时，系统的固有频率。

         解： （1）两弹簧并联（图18-6）

          

          

          

          

          

          

          

          

图18-6

1. 两弹簧串联（图18.7）

图18.7

1. 图18. 8所示无重弹簧梁，当其中部放置质量为m的重物时，其静挠度为，若将重物在梁未变形位置上无初速释放。

   求：系统的固有频率和振动规律

   

   18. 8

   解：（1）求静挠度相当于弹簧静伸长

   

   将代入得

（2）振动规律

参看式(18.3)有

初始条件 时

振动规律为

1. 在图18.9所示重镇的系统中，摆杆质量为m，长为，两弹簧的刚性系数分别为和，安装如图。杆在水平位置时受力平衡。

   求：系统微振动时的固有频率

   

   图18.9

   解：研究OA杆

   

   (a)

   时, 由 (b)

   将式(b)代入式(a)，有

   

   即

   固有频率

   另解：用能量法求解

   OA杆作自由振动时，其摆角的变化规律为

   

   角速度

   最大动能

   选择平衡位置为势能零位，OA杆摆过角时的势能为

   

   由式(b)可得

   最大势能：

   机械能守衡

   

   其中

2. 如图18.10均质圆柱质量为m，半径为r，在水平面上滚而不滑。连在柱心的两根水平弹簧的刚性系数各为c。

   求：系统自由振动的周期

    

图18.10a

 

图18.10b

解：圆柱作平面运动

将上式对t求导，有

 

即

固有频率

周期

1. 归纳求的方法
   1. 或
   2. 写出或求解
   3. 利用能量法求解