第八章 刚体基本运动
教学目标
1 明确刚体平动和刚体定轴转动的特征。能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。
2 对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要有清晰的理解。熟知匀速和匀变速转动的定义和公式。
3 能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。
4 掌握传动比的概念及其公式的应用。
5 对角速度矢、角加速度矢、以及用矢积表示刚体上一点的速度与加速度有初步的了解。
本章重点
刚体平动及其运动特征
刚体的定轴转动，转动方程、角速度和角加速度
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。
本章难点
用矢积表示刚体上一点的速度与加速度。
教学过程
研究刚体运动时：首先要了解每种运动形式的特征，并研究整个刚体的描述方法，然后再研究刚体上各点的运动。
- 刚体平动
先看几个实例：
实例1 汽车沿直线行驶时车身的运动；
实例2 推拉窗户的运动；
实例3 游乐车车厢的运动；
- 定义：刚体运动时，其上任一直线始终与原位置平行。
- 特征分析
运动方程
是常矢量
轨迹：形状相同
速度：
，
加速度：
，
结论：研究刚体的平动，可归结为研究其上任一点的运动。
- 平动分类
演示机构运动 
、
//
，
角不变并画出
、
、
点的轨迹，以
为圆心 
为半径的圆
二．刚体定轴转动
实例分析
实例1 门绕其转动的轴转动
实例2 风车上的叶片绕其转轴转动
- 定义：刚体运动时，其上有一直线始终保持不动，其余各点均作圆周运动。
- 整体运动描述
位置确定：转角
转动方程：
单值连续函数
角速度：
角加速度：
、
均为代数量，其正﹑负号表示刚体的转向，从轴正向往负向看
逆时针为正，顺时针为负。
开始
平面与
平面重合
，然后刚体转动至图示位置，画出转角
特例：（1）若
，
常量，称为匀速转动，此时
，
是
时的转角
（2）若
常量，称为匀变速转动，此时
，
，
、
是
时的转角和角速度
- 转动刚体上各点运动分析
自然坐标法
运动方程：
速度：
，
指向如图所示。半径上各点速度分布如图
加速度：切向加速度
，
，指向如图所示
法向加速度 
方向
,
,
任一半径上各点加速度分布如图
- 角速度﹑角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示
- 有限转动不是矢量，无限转动是矢量
描述转动刚体位置的转角虽然有三个要素：转轴在空间的方位，转角的大小和转角的转动方向，但实践证明转角不能用矢量表示。如图所示
原来位置
先绕
轴正向转90 后绕
轴正向转90
先绕
轴正向转90 后绕
轴正向绕90
但无限转动可用矢量表示，即
(证明略）
- 角速度﹑角加速度的矢量表示，
角速度矢量
的表示：方位沿转轴，大小等于角速度的绝对值
，指向由右手定则定，它表示角速度的转向，如图
如以
表示沿转轴的单位矢量，则
式中
为
在转轴上的投影是代数量，角加速度为
即角加速度矢量
也沿转轴，表示方法
与类似，如图所示
- 各点速度﹑加速度的矢量表示
在转轴上任取一点
，向点
引矢径
如图
点的速度可表示为
证明：
的方向垂直于
，
确定的平面即垂直于转动半径
，指向用右手定则判定，与自然法分析的分析的速度方向一致，所以式
成立。
由第七章点的运动学知：
所以可得出
式
表示了大小不变，只是方向变化的矢量
的导数公式，由此，可得出泊桑公式：
，
，
其中
，
，
是固连于转动刚体上的三个单位矢量。
将式对时间求一次导数，可得加速度公式，即
其中 
切线加速度，
法向加速度
例8.1荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示，钢索长为
，长度单位为
，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为
，其中
以
计，试求当
和
时荡木中点
的速度，加速度
解
- 运动分析：
//
，
荡木作平动，
点与
点的运动相同
- 研究钢索
，当钢索拉紧时，就相当于刚性杆绕转轴
转动
当
时 
,
方向如图
当
时 
,
,
,
方向如图8.20
- 齿轮传动是常见的轮系传动方式之一，可用来提高或降低转速，可用来改变转向。两齿轮外啮合时，其转向相反图(8.21
)；而内啮合时，其转向相同（图
）。设齿轮1和齿轮2的节圆半径分别为
和
，齿轮1的角速度
和角加速度分别为
，求齿轮的角速度
和角加速度
?
解 两齿轮啮合时，由于两节圆的接触点
、
间无相对滑动，故
并且速度方向也相同，即
，
有
将
式对时间求一次导数，
有
从式
和
，可得到齿轮2的角速度和角加速度
，
在机械工程中，常常把主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比，用附有角标的符号表示
由齿轮的节圆半径
、
或齿轮的齿数
、
，齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成反比），可表示为
几点说明：
- 式的定义的传动比是两个角速度大小的比值，与转动方向无关，因此不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于传动轴成任意角度的圆锥齿轮传动﹑摩擦轮传动或不计厚度的皮带轮的传动。
- 有时为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值。
式中正号表示主动轮与从动轮转向相同（内啮合）如图8.21
，负号表示转向相反（外啮合）如图
- 减速箱由四个齿轮构成如图所示。齿轮Ⅱ和安装Ⅲ在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为
，
，
。如主动轴Ⅰ的转速
，试求从动轮Ⅳ的转速
？
解：用
、
、
和
分别表示各齿轮的转速，于是有
，应用上例中的式
，有
，
于是有
代入数值得
（正值说明轮Ⅳ与轮Ⅰ转向相同）
从动轮Ⅳ的角速度为-
若
级传动，有
对外啮合齿轮
，
则
