第五章摩擦平衡问题

第五章摩擦平衡问题

教学目标

1 能区分滑动摩擦力与极限滑动摩擦力。对滑动摩擦定律有清晰的理解。

2 能熟练计算考虑摩擦力的物体的平衡问题。

3 理解摩擦角的概念和自锁现象，能用摩擦角解物体的平衡问题。

4 理解滚动摩阻定律。学会解滑动摩擦和滚动摩阻同时存在的平衡问题。

本章重点

滑动摩擦力和极限滑动摩擦力，滑动摩擦定律。

考虑摩擦时物体的平衡问题。平衡的临界状态和平衡范围。

本章难点

用摩擦角解物体、物体系的平衡问题。

教学过程

一．1．概念：两个相互接触的物体，当接触面之见有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此阻碍滑动的机械作用。

2．滑动摩擦力的性质和库仑摩擦定律

演示

质量为的物体静止地置于水平面上，设两者接触面都是非光滑面。现在物块上施加水平力并令其自零开始增加。

.静滑动摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反，大小在零与最大静摩擦力之间，即        (4-1)

一般静摩擦力又平衡条件确定，最大静摩擦力

称为库仑摩擦定律，其中是静摩擦系数。

.动滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反，大小称为库仑动摩擦定律，是动摩擦系数。

二．摩擦角与自锁现象

1. 摩擦角

考察图中所示的物体受力，称为全反力，全反力与法向约束力的夹角用来表示，

在保持物块静止的前提下，、随的增大而增大，当时，达到最大值，其作用点由移至，这时角度称为摩擦角。一般情形下

该式表示全约束反力在二维空间的作用范围，(4-2)和(4-4)分别为静滑动摩擦力有最大限定值这一概念的解析与几何表达式，因而二者等价。

当时，有

故(4-5)

它表明，摩擦角的正切等于静摩擦系数。在图5.3中，若将作用线过点的力连续改变它在水平面内的方向，则全约束反力的方向也随之改变。假定两物体接触面沿任意方向的静摩擦系数均相同，这样，在两物体处于领结平衡状态时，全约束力的作用线将再空间形成一个顶角为的正圆锥面，称之为摩擦锥。摩擦锥是全约束力在三维空间内的作用范围。

1. 自锁

如果作用在物体上的全部主动力的合力的作用线在摩擦锥之内，则无论这个力怎么大，物体总能保持平衡，这种现象称为摩擦自锁。反之，如果全部主动力的合力的作用线在摩擦锥外，无论这个力怎么小，物体一定不能平衡。

演示：重为 的物体放在斜面上，当斜面倾角逐渐增大，物体与斜面的摩擦角为，物体的运动状态

从图中可以看出， 物体保持平衡

                 物体发生运动

                 物体处于平衡与运动的临界状态

由此可知：物体在有摩擦的斜面上的自锁条件是

三．考虑摩擦的平衡问题

1. 的物体与倾角为的斜面间的静滑动摩擦系数，求当水平力时，摩擦力的大小，方向。

解：

1. 取研究对象：物块
2. 受力分析：假定物体处于静止状态且有沿斜面向上的运动趋势，所以摩擦力方向如图，其它受力如图。当然也可以假定物体有沿斜面向下运动趋势，于是摩擦力方向与图示相反。
3. 列方程求解：

1. 检验：

所以物体处于静止状态

1. 在斜面上放一重为的物体，已知斜面的倾角大于摩擦角，试求维持物体在斜面上静止所需水平力的大小

1. 解析法

1. 取研究对象：物块
2. 分析受力：因为，如果没有力作用，物体将沿斜面下滑，故要使物体在斜面上静止，必须有。若力较小时，物体有下滑趋势，摩擦力沿斜面向上；反之，若力较大时，物体有上滑趋势，摩擦力沿斜面向下。
   1. 物体有下滑趋势，受力如图5.7

   图5.7

   图5.7

   图5.7

列方程：

 

物理条件：

联立可得：

1. 物体有下滑趋势，受力如图5.7

列方程 ：

物理条件：

联立可得：

综上所述，物体要在斜面上保持静止，应满足

1. 几何法

例三．图所示为攀登电线杆时所采用脚套钩。已知套钩的尺寸，电线杆的直径，摩擦系数。试求套钩不致下滑时脚踏力的作用线与电线杆中心线的距离。

解：

1. 解析法：

1. 取研究对象：套钩
2. 受力分析：如图
3. 列方程

物理条件：

联立以上各式可得：

1. 几何法：

分别作出、两处的摩擦角，相应得到两处的全约束反力和的方向。于是，套钩应在、和三个力作用下处于临界平衡，故三力必交于一点。

由此解得： 由图可知：

1. 滚动摩阻

1. 滚动摩阻力偶：滚动摩阻是指一物体沿另一物体表面作相对滚动或有滚动趋势时，接触面间产生的一种阻碍滚动的机械运动。从实例分析，水平面有滚子处于平衡状态，滚子无运动趋势，接触面间无摩擦力。

在滚子中心加一较小的力，滚子仍平衡。说明存在摩擦力，由：知力与形成一对力偶，使滚子滚动。由于滚子静止，所以接触面间产生一个阻碍滚子滚动的力偶，该力偶称为滚动摩阻力偶，简称滚阻力偶，它的转向与滚子滚动的趋势相反。

1. 滚动摩阻力偶的成因：滚子和路面有接触变形

受到较小的水平拉力，约束力分布不均匀。

将此分布力系向点简化，得到主矢和主矩，此即是滚动摩阻力偶，可分解为和，将和合成为点的一个力，偏离一段微小距离，

当增大，增大，滚子处于临界状态时，滚子达到最大偏离量，这时滚动摩阻力偶也达到最大，可表示为，称为滚动摩阻系数

一般情况下，

1. 滑动摩擦力在滚动运动中的作用

上述分析表明，物体滚动前后，除存在外，还存在，力阻碍轮与接触面在接触处的相互滑动，但不阻碍滑动，相反还是轮产生滚动的条件。如图5.13所示，只有足够大的与拉力形成足够大的主动力偶才能克服滚动摩阻力偶，使滚子滚动。

下面说明为什么滚动比滑动省力。

使重为的物块滑动所需拉力为

使重为的滚子滚动所需的拉力为

一般情况下： 故有

，

上面两式说明，滚子在较小的主动力作用下产生滚动，其滑动摩擦力远远小于最大静摩擦力。